【題目】已知函數(shù).

（1）若在上單調遞增，求實數(shù)的取值范圍；

（2）設，若，恒有成立，求的最小值.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）由在上單調遞增，可得在上恒成立，利用分離參數(shù)法求出的范圍即可；

（2）設，，根據條件求出的范圍后，根據，可得的最小值.

解：（1）由，得，

由在上單調遞增，可得在上恒成立，

即在上恒成立，

當時，；當，則，∴，

∴的取值范圍為.

（2）設，，

則.

設，則，

∴單調遞增，即在上單調遞增，

∴.

當時，，在上單調遞增，∴，不符合題意；

當時，，在上單調遞減，，符合題意；

當時，由于為一個單調遞增的函數(shù)，

而，，

由零點存在性定理，必存在一個零點，使得，

從而在上單調遞減，在上單調遞增，

因此只需，∴，

∴，從而，

綜上，的取值范圍為，

因此.

設，則，

令，則，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

從而，

∴的最小值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的單調區(qū)間；

（2）若在上成立，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，側面為等邊三角形，且垂直于底面， ，分別是的中點.

（1）證明：平面平面；

（2）已知點在棱上且，求直線與平面所成角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在學習強國活動中，某市圖書館的科技類圖書和時政類圖書是市民借閱的熱門圖書.為了豐富圖書資源，現(xiàn)對已借閱了科技類圖書的市民（以下簡稱為“問卷市民”）進行隨機問卷調查，若不借閱時政類圖書記1分，若借閱時政類圖書記2分，每位市民選擇是否借閱時政類圖書的概率均為，市民之間選擇意愿相互獨立.

（1）從問卷市民中隨機抽取4人，記總得分為隨機變量，求的分布列和數(shù)學期望；

（2）（i）若從問卷市民中隨機抽取人，記總分恰為分的概率為，求數(shù)列的前10項和；

（ⅱ）在對所有問卷市民進行隨機問卷調查過程中，記已調查過的累計得分恰為分的概率為（比如：表示累計得分為1分的概率，表示累計得分為2分的概率，），試探求與之間的關系，并求數(shù)列的通項公式.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】據說，年過半百的笛卡爾擔任瑞典一小公國的公主克里斯蒂娜的數(shù)學老師，日久生情，彼此愛慕，其父國王知情后大怒，將笛卡爾流放回法國，并軟禁公主，笛卡爾回法國后染上黑死病，連連給公主寫信，死前最后一封信只有一個公式：國王不懂，將這封信交給了公主，公主用笛卡爾教她的坐標知識，畫出了這個圖形“心形線”.明白了笛卡爾的心意，登上了國王寶座后，派人去尋笛卡爾，其逝久矣（僅是一個傳說）.心形線是由一個圓上的一個定點，當該圓繞著與其相切且半徑相同的另外一個圓周上滾動時，這個定點的軌跡，因其形狀像心形而得名．在極坐標系中，方程表示的曲線就是一條心形線，如圖，以極軸所在直線為軸，極點為坐標原點的直角坐標系中，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.

（1）求曲線的極坐標方程；

（2）若曲線與相交于、、三點，求線段的長.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】每年的月日是全國愛牙日，為了迎接這一節(jié)日，某地區(qū)衛(wèi)生部門成立了調查小組，調查“常吃零食與患齲齒的關系”，對該地區(qū)小學六年級名學生進行檢查，按患齲齒的不患齲齒分類，得匯總數(shù)據：不常吃零食且不患齲齒的學生有名，常吃零食但不患齲齒的學生有名，不常吃零食但患齲齒的學生有名．

（1）完成答卷中的列聯(lián)表，問：能否在犯錯率不超過的前提下，認為該地區(qū)學生的常吃零食與患齲齒有關系？

（2）名區(qū)衛(wèi)生部門的工作人員隨機分成兩組，每組人，一組負責數(shù)據收集，另一組負責數(shù)據處理，求工作人員甲分到負責收集數(shù)據組，工作人員乙分到負責數(shù)據處理組的概率．

附：

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某公園準備在一圓形水池里設置兩個觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，兩點為噴泉，圓心為的中點，其中米，半徑米，市民可位于水池邊緣任意一點處觀賞．

（1）若當時，，求此時的值；

（2）設，且．

（i）試將表示為的函數(shù)，并求出的取值范圍；

（ii）若同時要求市民在水池邊緣任意一點處觀賞噴泉時，觀賞角度的最大值不小于，試求兩處噴泉間距離的最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在同一平面直角坐標系中，將曲線上的點按坐標變換得到曲線，以原點為極點、軸的正半軸為極軸，建立極坐標系.

（1）求曲線的極坐標方程和曲線的直角坐標方程；

（2）若直線與曲線交于兩點，與曲線交于兩點，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】曾玉、劉云、李夢、張熙四人被北京大學、清華大學、武漢大學和復旦大學錄取，他們分別被哪個學校錄取，同學們做了如下的猜想

甲同學猜：曾玉被武漢大學錄取，李夢被復旦大學錄取

同學乙猜：劉云被清華大學錄取，張熙被北京大學錄取

同學丙猜：曾玉被復旦大學錄取，李夢被清華大學錄取

同學丁猜：劉云被清華大學錄取，張熙被武漢大學錄取

結果，恰好有三位同學的猜想各對了一半，還有一位同學的猜想都不對

那么曾玉、劉云、李夢、張熙四人被錄取的大小可能是（ ）

A.北京大學、清華大學、復旦大學、武漢大學

B.武漢大學、清華大學、復旦大學、北京大學

C.清華大學、北京大學、武漢大學 、復旦大學

D.武漢大學、復旦大學、清華大學、北京大學

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