如圖,在直三棱柱中,底面△為等腰直角三角形,,為棱上一點(diǎn),且平面⊥平面.

(Ⅰ)求證:為棱的中點(diǎn);(Ⅱ)為何值時(shí),二面角的平面角為.
(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)

試題分析:(Ⅰ)先點(diǎn)D作DE ⊥ A1 C 于E點(diǎn),取AC的中點(diǎn)F,連BF ﹑EF,然后通過平面和平面垂直的性質(zhì)定理及直三棱柱的定義可證EF∥AA1,又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),則DB = BB1,即的中點(diǎn);或者先證,再證. (Ⅱ)先在點(diǎn)D處建立空間直角坐標(biāo)系,然后求出兩平面DA1C和ADA1 的法向量分別為,由二面角的平面角為可知,得
據(jù)題意有:,從而 .或者利用幾何法可求.
試題解析:(Ⅰ)過點(diǎn)D作DE ⊥ A1 C 于E點(diǎn),取AC的中點(diǎn)F,連BF ﹑EF
∵面DA1 C⊥面AA1C1C且相交于A1 C,面DA1 C內(nèi)的直線DE ⊥ A1 C
故直線                     3分
又∵面BA C⊥面AA1C1C且相交于AC,易知BF⊥AC,∴BF⊥面AA1C1C
由此知:DE∥BF ,從而有D,E,F(xiàn),B共面,又易知BB1∥面AA1C1C,故有DB∥EF ,從而有EF∥AA1,又點(diǎn)F是AC的中點(diǎn),所以DB = EF =  AA1 BB1,即的中點(diǎn).             6分
(Ⅱ)解法1:建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,

設(shè)AA1= 2b ,AB=BC = ,則D(0,0,b),  A1 (a,0,2b),  C (0,a,0) 
所以,
設(shè)面DA1C的法向量為
  可取                    8分
又可取平面AA1DB的法向量:

據(jù)題意有: 解得:                12分
(Ⅱ)解法2:延長A1 D與直線AB相交于G,易知CB⊥面AA1B1B,
過B作BH⊥A1 G于點(diǎn)H,連CH,由三垂線定理知:A1 G⊥CH,
由此知∠CHB為二面角A -A1D - C的平面角;                       9分
設(shè)AA1= 2b ,AB=BC =;在直角三角形A1A G中,易知AB = BG.
DBG中,BH =  = , CHB中,tan∠CHB =  = ,據(jù)題意有: = tan600  ,解得:所以                12分
練習(xí)冊系列答案
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(Ⅰ).求證:;
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①.求證://;
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同步練習(xí)冊答案