Question

如圖，一個半徑為1的球O放在桌面上，桌面上的一點A₁的正上方有一光源A，AA₁與球相切，AA₁=3，球在桌面上的投影是一個橢圓C，記橢圓C的四個頂點分別為A₁、A₂、B₁、B₂．則對于下列的命題：
①若點P為橢圓C上的一個動點，則tan∠OAP=

1

2

；
②橢圓C的長軸長為4；
③若沿直線B₁B₂的方向為主視方向，則幾何體A-A₁B₁A₂B₂的左視圖的面積為3

2

；
④橢圓C的離心率為

1

2

其中真命題的序號為

 

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

考點：球的性質(zhì),橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：根據(jù)題意作出過圓錐的軸與橢圓長軸AA₁的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，可得球與長軸A₁A₂的切點是橢圓的焦點F，運用切線長定理，求出AE，AD，即可判斷①；②由二倍角的正切公式，以及正切函數(shù)的定義，即可得到長軸長；求出a，c，b，即可得到幾何體A-A₁B₁A₂B₂的左視圖的面積為

1

2

×3×2

3

=3

3

，即可判斷③；由橢圓的離心率公式，即可判斷④．

解答： 解如圖是過錐體的軸與橢圓長軸A₁A₂的截面，根據(jù)圓錐曲線的定義，
可得球與長軸A₁A₂的切點是橢圓的焦點F，OE=OF=1，A₁E=A₁F=1，AA₁=3，
AE=2，AD=2，
對于①，tan∠OAP=tan∠OAD=

OD

AD

=

1

2

，故①對；
對于②，tan∠A₁AA₂=tan2∠OAD=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

，
A₁A₂=AA₁•tan∠A₁AA₂=3×

4

3

=4，故②對；
對于③由于2a=4，a=2，a-c=1，c=1，b²=a²-c²=3，b=

3

，
若沿直線B₁B₂的方向為主視方向，則幾何體A-A₁B₁A₂B₂的左視圖的面積為

1

2

×3×2

3

=3

3

，故③錯；
對于④橢圓C的離心率為e=

c

a

=

1

2

，故④對．
故答案為：①②④．

點評：本題以中心投影及中心投影作圖法，考查了橢圓的簡單性質(zhì)，同時考查了橢圓的基本量，屬于中檔題．深刻理解空間位置關(guān)系和橢圓的定義與性質(zhì)，是解決本題的關(guān)鍵．