Question

已知在數(shù)列{a_n}中，a1=

1

2

，S_n是其前n項(xiàng)和，且S_n=n²a_n-n（n-1）．
（1）證明：數(shù)列{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列；
（2）令b_n=（n+1）（1-a_n），記數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n．
①求證：當(dāng)n≥2時(shí)，Tn2＞2(

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

)；
②）求證：當(dāng)n≥2時(shí)，bn+1+bn+2+…+b2n＜

4

5

-

1

2n+1

．

Answer 1

分析：（1）由題設(shè)知S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1），兩邊同除以n（n-1），得

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1，由此能夠證明數(shù)列{

n+1

n

Sn}是等差數(shù)列；
（2）由

n+1

n

Sn=n，Sn=

n2

n+1

代入S_n=n²a_n-n（n-1），得an=1-

1

n(n+1)

，故bn=

1

n

，Tn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

．
①bn=

1

n

，bn=Tn-Tn-1=

1

n

，即Tn-

1

n

=Tn-1，平方Tn2-

2Tn

n

+

1

n2

=Tn-12∴Tn2-Tn-12=

2Tn

n

-

1

n2

，
再由疊加法能夠得到當(dāng)n≥2時(shí)，Tn2＞2(

T2

2

+

T3

3

+…+

Tn

n

)；
②當(dāng)n=2時(shí)，b3+b4=

1

3

+

1

4

＜

4

5

-

1

5

即n=2時(shí)命題成立，由數(shù)學(xué)歸納法能夠證明對(duì)于任意n≥2，bn+1+bn+2++b2n＜

4

5

-

1

2n+1

．

解答：解：（1）由條件可得S_n=n²（S_n-S_n-1）-n（n-1），（n²-1）S_n-n²S=n（n-1）
兩邊同除以n（n-1），得：

n+1

n

Sn-

n

n-1

Sn-1=1
所以：數(shù)列{

n+1

n

Sn}成等差數(shù)列，且首項(xiàng)和公差均為（14分）
（2）由（1）可得：

n+1

n

Sn=n，Sn=

n2

n+1

，代入S_n=n²a_n-n（n-1）可得an=1-

1

n(n+1)

，所以bn=

1

n

，Tn=1+

1

2

+

1

3

++

1

n

．（6分）
①bn=

1

n

當(dāng)n≥2時(shí)，bn=Tn-Tn-1=

1

n

，即Tn-

1

n

=Tn-1
平方則Tn2-

2Tn

n

+

1

n2

=Tn-12∴Tn2-Tn-12=

2Tn

n

-

1

n2

疊加得Tn2-1=2(

T2

2

+

T3

3

++

Tn

n

)-(

1

22

+

1

32

++

1

n2

)∴Tn2=2(

T2

2

+

T3

3

++

Tn

n

)+1-(

1

22

++

1

n2

)
又

1

22

+

1

32

++

1

n2

＜

1

1×2

+

1

2×3

++

1

(n-1)n

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

++

1

n-1

-

1

n

=1-

1

n

＜1∴Tn2＞2(

T2

2

+

T3

3

++

Tn

n

)（9分）
②當(dāng)n=2時(shí)，b3+b4=

1

3

+

1

4

＜

4

5

-

1

5

即n=2時(shí)命題成立
假設(shè)n=k（k≥2）時(shí)命題成立，即

1

k+1

+

1

k+2

++

1

2k

＜

4

5

-

1

2k+1

當(dāng)n=k+1時(shí)，

1

k+2

+

1

k+3

++

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+1

-

1

k+1

+

1

2k+1

+

1

2k+2

=

4

5

-

1

2k+2

＜

4

5

-

1

2k+3

即n=k+1時(shí)命題也成立
綜上，對(duì)于任意n≥2，bn+1+bn+2++b2n＜

4

5

-

1

2n+1

（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列知識(shí)的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．