如圖所示,已知A、BC是長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓E上的三點(diǎn),點(diǎn)A是長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),BC過(guò)橢圓中心O,且,|BC|=2|AC|.

(1)求橢圓E的方程;
(2)在橢圓E上是否存點(diǎn)Q,使得?若存在,有幾個(gè)(不必求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
(3)過(guò)橢圓E上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作的兩條切線,切點(diǎn)分別為M、N,若直線MN在x軸、y軸上的截距分別為m、n,證明:為定值.
(1);(2)滿足條件的點(diǎn)Q存在,且有兩個(gè).

試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì),考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,考查分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力和計(jì)算能力.第一問(wèn),先由長(zhǎng)軸長(zhǎng)得到a的值,設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用已知條件數(shù)形結(jié)合得到C點(diǎn)坐標(biāo),將C點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓中,得到b的值,從而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;第二問(wèn),先設(shè)出Q點(diǎn)坐標(biāo),利用已知等式計(jì)算,可知點(diǎn)Q在直線上,點(diǎn)在直線上,而在橢圓內(nèi)部,數(shù)形結(jié)合得存在點(diǎn)Q而且存在2個(gè);法二:用和橢圓方程聯(lián)立消參,得到關(guān)于x的方程,看方程的判別式,判別式大于0時(shí),方程有2個(gè)根,則直線與橢圓有2個(gè)交點(diǎn);第三問(wèn),設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo),由切線的性質(zhì)得四點(diǎn)共圓,此圓的圓心為,直徑為OP,得到此圓的方程,M、N既在此圓上,又在圓O上,2個(gè)方程聯(lián)立,解出直線MN的方程,得出截距的值,再轉(zhuǎn)化出P點(diǎn)坐標(biāo)代入到橢圓中即可;法二:設(shè)出點(diǎn)P、M、N的坐標(biāo),利用直線的垂直關(guān)系,利用斜率列出等式,轉(zhuǎn)化成直線PM和直線PN的方程,從而得到直線MN的方程.
試題解析:(1)依題意知:橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng),則A(2,0),
設(shè)橢圓E的方程為           2分
由橢圓的對(duì)稱性知|OC|=|OB|又∵,|BC|=2|AC|
ACBC,|OC|=|AC|∴△AOC為等腰直角三角形,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-1,-1),          4分
C的坐標(biāo)(1,1)代入橢圓方程得
∴所求的橢圓E的方程為                      5分
(2)解法一:設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q,使得,設(shè),則
即點(diǎn)Q在直線上,                             7分
∴點(diǎn)Q即直線與橢圓E的交點(diǎn),
∵直線過(guò)點(diǎn),而點(diǎn)橢圓在橢圓E的內(nèi)部,
∴滿足條件的點(diǎn)Q存在,且有兩個(gè).                          9分
解法二:設(shè)在橢圓E上存在點(diǎn)Q,使得,設(shè),則
,   ①                       -7分
又∵點(diǎn)Q在橢圓E上,∴,        ②
由①式得代入②式并整理得:,  -③
∵方程③的根判別式
∴方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,即滿足條件的點(diǎn)Q存在,且有兩個(gè).       9分
(3)解法一:

設(shè)點(diǎn),由M、N是的切點(diǎn)知,,
∴O、M、P、N四點(diǎn)在同一圓上,                     10分
且圓的直徑為OP,則圓心為,
其方程為,               11分
  -④
即點(diǎn)M、N滿足方程④,又點(diǎn)M、N都在上,
∴M、N坐標(biāo)也滿足方程       -⑤
⑤-④得直線MN的方程為,               12分
,令,                 13分
,又點(diǎn)P在橢圓E上,
,即=定值.                 14分
解法二:設(shè)點(diǎn)     10分
直線PM的方程為化簡(jiǎn)得      ④
同理可得直線PN的方程為       -⑤         11分
把P點(diǎn)的坐標(biāo)代入④、⑤得
∴直線MN的方程為,                           12分
,令,                      13分
,又點(diǎn)P在橢圓E上,
,即=定值.                      -14分
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A.B.C.D.

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A.B.C.D.

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A.B.C.D.

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