已知拋物線y2=4x,焦點(diǎn)為F,頂點(diǎn)為O,點(diǎn)P(m,n)在拋物線上移動,Q是OP的中點(diǎn),M是FQ的中點(diǎn).
(1)求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)求
nm+3
的取值范圍.
分析:(1)設(shè)M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),求出y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo),利用M是FQ的中點(diǎn),Q是OP的中點(diǎn),分別推出M,P,Q的坐標(biāo)故選,利用P(m,n)在拋物線上,求點(diǎn)M的軌跡方程.
(2)通過
n
m+3
的幾何意義,直接聯(lián)立方程組,利用△≥0,求出它的取值范圍.
解答:解:(1)設(shè)M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)
∵M(jìn)是FQ的中點(diǎn),
x=
1+x2
2
y=
y2
2
x2=2x-1
y2=2y
,
又Q是OP的中點(diǎn)∴
x2=
x1
2
y2=
y1
2
x1=2x2=4x-2
y1=2y2=4y

∵P在拋物線y2=4x上,
∴(4y)2=4(4x-2),
所以M點(diǎn)的軌跡方程為y2=x-
1
2

(2)
n
m+3
可看作拋物線上的點(diǎn)與定點(diǎn)(-3,0)連線的斜率,設(shè)
y
x+3
=k


y
x+3
=k
y2=4x
,可得k2x2+(6k2-4)x+9k2=0,由△≥0,
可得k2
1
3
,
所以它的取值范圍.k∈[-
3
3
,
3
3
]
點(diǎn)評:本題考查曲線軌跡方程的求法,直線的斜率的應(yīng)用,函數(shù)與方程的思想,考查計(jì)算能力.
練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M,過M作斜率為k的直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn),弦AB的中點(diǎn)為P,AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)E(x0,0).
(1)求k的取值范圍;
(2)求證:x0>3;
(3)△PEF能否成為以EF為底的等腰三角形?若能,求此k的值;若不能,說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線
y
2
 
=4x
的焦點(diǎn)為F,過點(diǎn)A(4,4)作直線l:x=-1垂線,垂足為M,則∠MAF的平分線所在直線的方程為
x-2y+4=0
x-2y+4=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x與直線2x+y-4=0相交于A、B兩點(diǎn),拋物線的焦點(diǎn)為F,那么|
FA
|+|
FB
|
=
7
7

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知拋物線y2=4x,其焦點(diǎn)為F,P是拋物線上一點(diǎn),定點(diǎn)A(6,3),則|PA|+|PF|的最小值是
7
7

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