Question

已知函數(shù)f（x）=e^x+alnx的定義域?yàn)镈，關(guān)于函數(shù)f（x）給出下列命題：
①對(duì)于任意函數(shù)a∈（0，+∞），函數(shù)f（x）是D上的減函數(shù)；
②對(duì)于任意函數(shù)a∈（-∞，0），函數(shù)f（x）存在最小值；
③存在a∈（0，+∞），使得對(duì)于任意的x∈D，都有f（x）＞0．
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

A．②

B．①②

C．③

D．①③

Answer 1

分析：求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分析當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而可得函數(shù)的單調(diào)性；分析當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出函數(shù)的最值，進(jìn)而可判斷②；分析函數(shù)的零點(diǎn)及單調(diào)性，可判斷③．

解答：解：∵f′（x）=ex+

a

x

，定義域?yàn)镈（0，+∞）．
當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，f′（x）＞0恒成立，故f（x）是D上的增函數(shù)，故①錯(cuò)誤；
當(dāng)a∈（-∞，0）時(shí)，存在x₀∈D，使f′（x）=0，
則f（x）在（0，x₀）上是減函數(shù)，在（x₀，+∞）上是增函數(shù)，
則f（x₀）為函數(shù)的最小值，故②正確；
當(dāng)a∈（0，+∞）時(shí)，函數(shù)存在零點(diǎn)x₀，由①得f（x）是D上的增函數(shù)，
則當(dāng)x∈（0，x₀）時(shí)，f（x）＜0．故③錯(cuò)誤；
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷與應(yīng)用為載體，考查了利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，最值，零點(diǎn)，難度中檔．