(2012•石家莊一模)已知點(diǎn)P在曲線y=ex(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上,點(diǎn)Q在曲線y=lnx上,則丨PQ丨的最小值是
2
2
分析:考慮到兩曲線關(guān)于直線y=x對(duì)稱,求丨PQ丨的最小值可轉(zhuǎn)化為求P到直線y=x的最小距離,再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求曲線上斜率為1的切線方程,從而得此距離
解答:解:∵曲線y=ex(e自然對(duì)數(shù)的底數(shù))與曲線y=lnx互為反函數(shù),其圖象關(guān)于y=x對(duì)稱,
故可先求點(diǎn)P到直線y=x的最近距離d
設(shè)曲線y=ex上斜率為1的切線為y=x+b,
∵y′=ex,由ex=1,得x=0,故切點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),即b=1
∴d=
1
1+1
=
2
2

∴丨PQ丨的最小值為2d=
2

故答案為
2
點(diǎn)評(píng):本題主要考查了互為反函數(shù)的函數(shù)圖象的對(duì)稱性,導(dǎo)數(shù)的幾何意義,曲線的切線方程的求法,轉(zhuǎn)化化歸的思想方法
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