Question

已知雙曲線

(1)求直線L的斜率的取值范圍，使L與C分別有一個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)，沒(méi)有交點(diǎn).

(2)若Q(1,1)，試判斷以Q為中點(diǎn)的弦是否存在，若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析；（2）不存在.

【解析】（1） 本題涉及到用方程來(lái)判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系，一定要注意再利用判別式進(jìn)行判斷時(shí)，二次項(xiàng)系數(shù)不為零.

(2)本題求出直線方程后，要注意驗(yàn)證二次方程的判別式是否大于零，如果不大于零，就不存在，否則存在.

解：（1）解方程組

 消去得 

  當(dāng) ， 時(shí) 

  當(dāng)時(shí)  

         由     得

         由     得

         由     得或

  綜上知 ：

 時(shí)，直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

 時(shí)，直線與曲線切于一點(diǎn)，時(shí)，直線與曲線交于一點(diǎn).

或直線與曲線C沒(méi)有公共點(diǎn).

（2）不存在

假設(shè)以Q點(diǎn)為中點(diǎn)的弦存在

（1）當(dāng)過(guò)Q點(diǎn)的直線的斜率不存在時(shí)，顯然不滿足題意.

（2）當(dāng)過(guò)Q點(diǎn)的直線的斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為K

 聯(lián)立方程兩式相減得：

所以過(guò)點(diǎn)Q的直線的斜率為K=1

所以直線的方程為y=x即為雙曲線的漸近線

與雙曲線沒(méi)有公共點(diǎn)

即所求的直線不存在.