拋物線y=g(x)經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)、A(m,0)與點(diǎn)P(m+1,m+1),其中m>n>0,b<a,設(shè)函數(shù)f(x)=(x-n)g(x)在x=a和x=b處取到極值.
(1)用m,x表示f(x)=0.
(2)比較a,b,m,n的大。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校
(3)若,且過原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y=(x)均相切,求y=f(x)
【答案】分析:(1)先設(shè)拋物線方程y2=kx(x-m),把點(diǎn)P代入拋物線方程求得k,進(jìn)而可得拋物線方程可得.
(2)f(x)=(x-n)g(x)求得函數(shù)f(x)的表達(dá)式,求導(dǎo),根據(jù)函數(shù)f(x)在x=a和x=b處取到極值,可知f′(a)=0,f′(b)=0,根據(jù)m>n可知f′(m)>0,f′(n)<0,進(jìn)而可判斷b<n<a<m.
(3)設(shè)切點(diǎn)Q(x,y)進(jìn)而可根據(jù)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)求得斜率,根據(jù)y=x3-(m+n)x2+mnx,可得切線的方程,又根據(jù)切線過原點(diǎn),進(jìn)而可得-x3-(m+n)x2-mnx=-3x3-2(m+n)x2+mnx,求得x,分別表示出兩切線的斜率m+n≤2,確定k1k2的范圍,進(jìn)而根據(jù)兩條切線垂直可知k1k2=-1,推斷出上式等號(hào)成立,有m+n=2,且mn=1.進(jìn)而求得函數(shù)f(x)的表達(dá)式.
解答:解:(1)由拋物線經(jīng)過點(diǎn)O(0,0)A(m,0),設(shè)拋物線方程y=kx(x-m),k≠0,
又拋物線過點(diǎn)P(m+1,m+1),則m+1=k(m+1)(m+1-m),得k=1,
所以y=g(x)=x(x-m)=x2-mx.
(2)f(x)=(x-n)g(x)=x(x-m)(x-n)=x3-(m+n)x2+mnx,
f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn,函數(shù)f(x)在x=a和x=b處取到極值,
故f′(a)=0,f′(b)=0,∵m>n>0,
∴f′(m)=3m2-2(m+n)m+mn=m2-mn=m(m-n)>0
f′(n)=3n2-2(m+n)+mn=n2-mn=n(n-m)<0
又b<a,故b<n<a<m.
(3)設(shè)切點(diǎn)Q(x,y),則切線的斜率k=f′(x)=3x2-2(m+n)x+mn
又y=x3-(m+n)x2+mnx,,所以切線的方程是
y=x3-(m+n)x2-mnx=[3x2-2(m+n)x+mn](x-x
又切線過原點(diǎn),故-x3-(m+n)x2-mnx=-3x3-2(m+n)x2+mnx,
所以2x3-(m+n)x2=0,解得x=0,或x=
兩條切線的斜率為k1=f′(0)=mn,k2=f′(),
由m+n≤2,得(m+n)2≥8,∴-(m+n)2≥-2,
∴k2=f′()=-2(m+n)•+mn=-(m+n)2+mn≥mn-2
所以k1k2=(mn)2-2mn=(mn-1)2-1≥-1,
又兩條切線垂直,故k1k2=-1,所以上式等號(hào)成立,有m+n=2,且mn=1.
所以f(x)=x3-(m+n)x2+mnx=x3-2x2+x.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查而來拋物線的應(yīng)用和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用.考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力.
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(1)用m,x表示f(x)=0.
(2)比較a,b,m,n的大。ㄒ蟀磸男〉酱笈帕校
(3)若m+n≤2
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b<n<a<m

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