【題目】定義在R上的函數(shù)f(x)>0,對(duì)任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x) f(y)成立,且當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1.
(1)求f(0)的值;
(2)求證f(x)在R上是增函數(shù);
(3)若f(k3x)f(3x﹣9x﹣2)<1對(duì)任意x∈R恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
【答案】(1)f(0)=1;(2)見(jiàn)解析;(3)k<
【解析】
(1)利用賦值法求f(0)的值;
(2)根據(jù)增函數(shù)定義進(jìn)行證明,其中利用條件“當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1”比較大小是解題關(guān)鍵;
(3)先根據(jù)單調(diào)性化簡(jiǎn)不等式得32x﹣(1+k)3x+2>0,再分離變量轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)y=3x+最值,最后根據(jù)基本不等式求函數(shù)最值,即得結(jié)果.
(1)令x=0,y=1,則f(0+1)=f(0)f(1),所以f(1)=f(0)f(1),
∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,∴f(1)>1,∴f(0)=1;
(2)設(shè)x1<x2,則x2﹣x1>0,∵當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,∴f(x2﹣x1)>1
∴f(x2)=f(x2﹣x1+x1)=f(x2﹣x1)f(x1)>f(x1),∴f(x)在R上是增函數(shù);
(3)∵f(x)在R上是增函數(shù),f(k3x) f(3x﹣9x﹣2)=f(k 3x+3x﹣9x﹣2)<f(0),
∴32x﹣(1+k)3x+2>0對(duì)任意x∈R成立.∴1+k<3x+,∵3x>0,∴3x+≥.
∴k<.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于一個(gè)具有正南正北、正東正西方向規(guī)則布局的城鎮(zhèn)街道,從一點(diǎn)到另一點(diǎn)的距離是在南北方向上行進(jìn)的距離加上在東西方向上行進(jìn)的距離,這種距離即“曼哈頓距離”,也叫“出租車距離”.對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)和,兩點(diǎn)間的“曼哈頓距離”.
(1)如圖,若為坐標(biāo)原點(diǎn),,兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為和,求,,;
(2)若點(diǎn)滿足,試在圖中畫(huà)出點(diǎn)的軌跡,并求該軌跡所圍成圖形的面積;
(3)已知函數(shù),試在圖象上找一點(diǎn),使得最小,并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為弘揚(yáng)民族文化,某學(xué)校學(xué)生全員參與舉行了“我愛(ài)國(guó)學(xué),傳誦經(jīng)典”考試,并從中抽取名學(xué)生的成績(jī)(百分制)作為樣本,得到頻率分布直方圖如圖所示.成績(jī)落在中的人數(shù)為20.
(1)求和的值;
(2)根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想,估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)的平均數(shù)和中位數(shù);(同一組數(shù)據(jù)中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在區(qū)間中點(diǎn)的值作代表)
(3)若成績(jī)?cè)?/span>80分以上(含80分)為“國(guó)學(xué)小達(dá)人”.若在樣本中,利用分層抽樣的方法從“國(guó)學(xué)小達(dá)人”中隨機(jī)抽取5人,再?gòu)闹谐槿?/span>2人贈(zèng)送一套國(guó)學(xué)經(jīng)典,記“抽中的2名學(xué)生成績(jī)都不低于90分”為事件,求;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在四棱錐中,,,,為的中點(diǎn),為的中點(diǎn),.
(1)求證: 平面;
(2)取中點(diǎn),證明:平面;
(3)求點(diǎn)到平面的距離.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某群體的人均通勤時(shí)間,是指單日內(nèi)該群體中成員從居住地到工作地的平均用時(shí).某地上班族中的成員僅以自駕或公交方式通勤.分析顯示:當(dāng)中()的成員自駕時(shí),自駕群體的人均通勤時(shí)間為(單位:分鐘),而公交群體的人均通勤時(shí)間不受影響,恒為分鐘,試根據(jù)上述分析結(jié)果回答下列問(wèn)題:
(1)當(dāng)在什么范圍內(nèi)時(shí),公交群體的人均通勤時(shí)間少于自駕群體的人均通勤時(shí)間?
(2)求該地上班族的人均通勤時(shí)間的表達(dá)式;討論的單調(diào)性,并說(shuō)明其實(shí)際意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x,且此函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(1,2).
(1)求實(shí)數(shù)m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明;
(3)討論函數(shù)f(x)在(0,1)上的單調(diào)性,并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在五面體中,四邊形是矩形,,,,,為的中點(diǎn),為線段上一點(diǎn),且.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)求證:;
(Ⅲ)求證:平面平面.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.
(1)求、的值及極值;
(2)若對(duì),不等式恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在六條棱長(zhǎng)分別為2、3、3、4、5、5的所有四面體中,最大的體積是多少?證明你的結(jié)論.
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