Question

【題目】已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的極值點；

（2）若，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，無極值點；當(dāng)時，極值點為；當(dāng)且時，極值點為和；（2）.

【解析】

(1)先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論、、且即可求出函數(shù)的極值點;

(2)由題意可將，恒成立轉(zhuǎn)化為時，恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，分，與兩種情況討論，分別用導(dǎo)數(shù)的方法研究其在上的單調(diào)性和值域，即可篩選出符合題意的的取值范圍.

（1）,

當(dāng)時，，故無極值點；

當(dāng)時，函數(shù)只有一個極值點，極值點為；

當(dāng)且時，函數(shù)有兩個極值點，分別為和.

（2），依題意，當(dāng)時，，

即當(dāng)時，.

設(shè)，則.

設(shè)，則.

①當(dāng)時，，，從而（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），

在上單調(diào)遞增.

又，當(dāng)時，，從而當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減，又，

從而當(dāng)時，，即，

于是當(dāng)時，.

②當(dāng)時，令，得，.

故當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞減.

又，當(dāng)時，，從而當(dāng)時，，

在上單調(diào)遞增，又，

從而當(dāng)時，，即，

于是當(dāng)時，，不符合題意.

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.