Question

定義在上的單調函數(shù)滿足，且對任意都有
（1）求證：為奇函數(shù)；
（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）證明見試題解析；（2）．

解析試題分析：(1)這是抽象函數(shù)問題，要證明它是奇函數(shù)，當然要根據(jù)奇函數(shù)的定義，證明或，由此在已知式里設，從而有，因此我們還要先求出，這個只要設或者有一個為0即可得，故可證得為奇函數(shù)；（2）不等式可以利用為奇函數(shù)的結論，變形為，再利用函數(shù)的單調性去掉符號“”，轉化為關于的不等式恒成立問題，即對任意成立，這時還需要用換元法（設）變化二次不等式怛成立，當然不要忘記的取值范圍.
試題解析：（Ⅰ）證明：∵         ①
令，代入①式，得即
令，代入①式，得，又
則有即對任意成立，
所以是奇函數(shù).                      4分
（Ⅱ）解：，即，又在上是單調函數(shù)，
所以在上是增函數(shù).
又由（1）是奇函數(shù).
，即對任意成立.
令，問題等價于對任意恒成立.   8分
令其對稱軸.
當時，即時，，符合題意；       10分
當時，對任意恒成立
解得                     12分
綜上所述，對任意恒成立時，
實數(shù)的取值范圍是：.                 13分
考點：(1)奇函數(shù)的定義；；（2）不等式恒成立問題.