Question

如下圖，從橢圓上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁且它的長軸端點A及短軸端點B的連線AB∥OM.

(1)求橢圓的離心率e；

(2)設Q是橢圓上任意一點，F₂是右焦點，求∠F₁QF₂的取值范圍；　　

(3)設Q是橢圓上一點，當QF2AB時，延長QF₂與橢圓交于另一點P，若△F₁PQ的面積為20，求此時橢圓的方程。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)欲求e=，需尋求a、c之間的關(guān)系，聯(lián)系已知條件，應從0M∥AB入手。 ∵MF1⊥x軸,∴xM=－c，代入橢圓方程，得yM=，∴kOM=，。 ∵OM∥AB，∴，∴b=c，從而a=故e=。 (2)因∠F1QF2是△F1QF2的一個內(nèi)角，故可考慮解△F1QF2求之。 設，，，則r1+r2=2a，.據(jù)余弦定理，得 當且僅當r1=r2時上式成立，    ∴0≤cosθ≤1，θ∈[0，]。 (3)可用待定系數(shù)法求橢圓的方程，∵b=c，a=c，故可設橢圓的方程為。 ∵PQ⊥AB，∴，則PQ的方程為y=(x－c) お。代入橢圓的方程，整理，得，據(jù)弦長公式，得。 又點F1到PQ的距離d＝， ∴S△F1PQ=。 由，得c2=25， 2c2=50 故所求橢圓的方程為。