Question

已知函數(shù)
（Ⅰ）求在點(diǎn)處的切線方程；
（Ⅱ）若存在，滿足成立，求的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

(1) (2) <
(3)

試題分析：解：(Ⅰ)             
在處的切線方程為：
即                    3分
(Ⅱ)     即  令   
時(shí)， ，時(shí)，
在上減，在上增
又時(shí)，的最大值在區(qū)間端點(diǎn)處取到.
 

  在上最大值為，
故的取值范圍是：<.                    8分
（Ⅲ）由已知得時(shí)恒成立，設(shè) 
由(Ⅱ)知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，
故從而當(dāng)
即時(shí)，，為增函數(shù)，又
于是當(dāng)時(shí)， 即 時(shí)符合題意。11分
由可得，從而當(dāng)時(shí)，

故當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，又，
于是當(dāng)時(shí)， 即
故，不符合題意.
綜上可得的取值范圍為                          14分
點(diǎn)評(píng):解決的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線方程以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定函數(shù)單調(diào)性，得到函數(shù)的最值，屬于基礎(chǔ)題。