【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，求證不等式解集為空集.

【答案】（1）的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為（2）在上只有一個(gè)零點(diǎn)（3）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)得到，計(jì)算得到答案.

（2）求導(dǎo)得到，分類討論，和三種情況得到答案.

（3）原題等價(jià)于恒成立，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，計(jì)算最小值得到證明.

（1）的定義域?yàn)?/span>.

令，得

當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞增.

當(dāng)時(shí)，有，所以在上單調(diào)遞減.

綜上所述：的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

（2）函數(shù)，

令，解得

，

當(dāng)時(shí)，在上遞減，有.所以.

所以有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在上遞增，所以有一個(gè)零點(diǎn).

當(dāng)時(shí)，在上遞增，在上遞減，在上遞增.

此時(shí)，所以有一個(gè)零點(diǎn).

綜上所述：在上只有一個(gè)零點(diǎn).

（3）當(dāng)時(shí)，不等式解集為空集,等價(jià)于在定義域內(nèi)恒成立.

即在定義域內(nèi)恒成立.

令.

，令，得

列表得

—

0

+

遞減

最小值

遞增

因?yàn)?/span>，所以.

又，所以

所以恒成立.所以不等式解集為空集

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】函數(shù)，

（1）若，試討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，試討論的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如果數(shù)列對(duì)于任意，都有，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列是“間等差數(shù)列”，為“間公差”.若數(shù)列滿足，，.

（1）求證：數(shù)列是“間等差數(shù)列”，并求間公差；

（2）設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若的最小值為-153，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）類似地：非零數(shù)列對(duì)于任意，都有，其中為常數(shù)，則稱數(shù)列是“間等比數(shù)列”，為“間公比”.已知數(shù)列中，滿足，，，試問數(shù)列是否為“間等比數(shù)列”，若是，求最大的整數(shù)使得對(duì)于任意，都有；若不是，說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】下圖為函數(shù)的部分圖象，、是它與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，、分別為它的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，且為等腰直角三角形.

（1）求的解析式；

（2）將函數(shù)圖象上的每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半，再向左平移個(gè)單位長度得到的圖象，求的解析式及單調(diào)增區(qū)間，對(duì)稱中心.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某社會(huì)機(jī)構(gòu)為了調(diào)查對(duì)手機(jī)游戲的興趣與年齡的關(guān)系，通過問卷調(diào)查，整理數(shù)據(jù)得如下列聯(lián)表：

（1）根據(jù)列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為對(duì)手機(jī)游戲的興趣程度與年齡有關(guān)？

（2）若已經(jīng)從40歲以上的被調(diào)查者中用分層抽樣的方式抽取了10名，現(xiàn)從這10名被調(diào)查者中隨機(jī)選取3名，記這3名被選出的被調(diào)查者中對(duì)手機(jī)游戲很有興趣的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

附：

參考數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求函數(shù)的最小正周期；

（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域以及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，為實(shí)數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（I）求的單調(diào)區(qū)間；

（II）討論在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）設(shè)，求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）設(shè)，求證：存在唯一的，使得函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線l與函數(shù)的圖象也相切；

（3）求證：對(duì)任意給定的正數(shù)a，總存在正數(shù)x，使得不等式成立．

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