Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)＝－x³＋x²＋ax＋b(a，b∈R)．

(1)若a＝3，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在其圖象上任意一點(diǎn)(x₀，f(x₀))處切線的斜率都小于2a²，求a的取值范圍．

 

 

Answer 1

【答案】

．解：(1)f(x)＝－x³＋x²＋3x＋b.f′(x)＝－x²＋2x＋3，

令f′(x)>0，得－1<x<3，

令f′(x)<0得x<－1或x>3

故f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(－1,3)，減區(qū)間為(－∞，－1)，(3，＋∞)．…………6分

(2)∵f′(x)＝－x²＋2x＋a，由題意得

－x²＋2x＋a<2a²對(duì)任意x∈R成立．

即x²－2x>a－2a²對(duì)任意x∈R恒成立．

設(shè)g(x)＝x²－2x＝(x－1)²－1，∴g(x)_min＝－1，

∴－1>a－2a²，得a>1或a<－.                          …………………12分

 

【解析】略