【題目】已知，，動點(diǎn)滿足直線與直線的斜率之積為，設(shè)點(diǎn)的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）若過點(diǎn)的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，過點(diǎn)且與直線垂直的直線與相交于點(diǎn)，求的最小值及此時直線的方程.

【答案】（1）（2）的最小值為1，此時直線：

【解析】

（1）用直接法求軌跡方程，即設(shè)動點(diǎn)為，把已知用坐標(biāo)表示并整理即得．注意取值范圍；

（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，消元并整理得，

設(shè)，，則可得，，由求出，

將直線方程與聯(lián)立，得，求得，計(jì)算，設(shè).顯然，構(gòu)造，由導(dǎo)數(shù)的知識求得其最小值，同時可得直線的方程.

（1）設(shè)，則，即

整理得

（2）設(shè)：，將其與曲線的方程聯(lián)立，得

即

設(shè)，，則，

將直線：與聯(lián)立，得

∴

∴

設(shè).顯然

構(gòu)造

在上恒成立

所以在上單調(diào)遞增

所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取“=”

即的最小值為1，此時直線：.

（注：1.如果按函數(shù)的性質(zhì)求最值可以不扣分；2.若直線方程按斜率是否存在討論，則可以根據(jù)步驟相應(yīng)給分.）

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某城市有東、西、南、北四個進(jìn)入城區(qū)主干道的入口，在早高峰時間段，時常發(fā)生交通擁堵，交警部門記錄了11月份30天內(nèi)的擁堵情況（如下表所示，其中●表示擁堵，○表示通暢）.假設(shè)每個人口是否發(fā)生擁堵相互獨(dú)立，將各入口在這30天內(nèi)擁堵的頻率代替各入口每天擁堵的概率.

11.1

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東入口

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西入口

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南入口

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北入口

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東入口

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西入口

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南入口

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北入口

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○

（1）分別求該城市一天中早高峰時間段這四個主干道的入口發(fā)生擁堵的概率.

（2）各人口一旦出現(xiàn)擁堵就需要交通協(xié)管員來疏通，聘請交通協(xié)管員有以下兩種方案可供選擇.方案一：四個主干道入口在早高峰時間段每天各聘請一位交通協(xié)管員，聘請每位交通協(xié)管員的日費(fèi)用為（，且）元.方案二：在早高峰時間段若某主干道入口發(fā)生擁堵，交警部門則需臨時調(diào)派兩位交通協(xié)管員協(xié)助疏通交通，調(diào)派后當(dāng)日需給每位交通協(xié)管員的費(fèi)用為200元.以四個主干道入口聘請交通協(xié)管員的日總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，你認(rèn)為在這兩個方案中應(yīng)該如何選擇？請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若,.

（1）證明：當(dāng)時，；

（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】國家每年都會對中小學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)健康監(jiān)測，一分鐘跳繩是監(jiān)測的項(xiàng)目之一.今年某小學(xué)對本校六年級300名學(xué)生的一分鐘跳繩情況做了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)一分鐘跳繩個數(shù)最低為10，最高為189.現(xiàn)將跳繩個數(shù)分成，，，，，6組，并繪制出如下的頻率分布直方圖.

（1）若一分鐘跳繩個數(shù)達(dá)到160為優(yōu)秀，求該校六年級學(xué)生一分鐘跳繩為優(yōu)秀的人數(shù)；

（2）上級部門要對該校體質(zhì)監(jiān)測情況進(jìn)行復(fù)查，發(fā)現(xiàn)每組男、女學(xué)生人數(shù)比例有很大差別，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為，組男、女人數(shù)之比為.試估計(jì)此校六年級男生一分鐘跳繩個數(shù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，結(jié)果保留整數(shù)）.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，為直角梯形，，，平面平面，是以為斜邊的等腰直角三角形，，為上一點(diǎn)，且.

（1）證明：直線平面；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則下列命題正確的是（ ）

A.當(dāng)時，

B.函數(shù)有3個零點(diǎn)

C.的解集為

D.，都有

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)，，其中m是不等于零的常數(shù).

（1）時，直接寫出的值域；

（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；

（3）已知函數(shù)，，定義：，，，，其中，表示函數(shù)在上的最小值，表示函數(shù)在上的最大值.例如：，，則，，，.當(dāng)時，恒成立，求n的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列：，，，（），與數(shù)列：，，，，（），記.

（1）若，求的值；

（2）求的表達(dá)式；

（3）已知，且存在正整數(shù)，使得在中有4項(xiàng)為100，求的值，并指出哪4項(xiàng)為100.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖所示的圓錐的體積為，圓的直徑，點(diǎn)C是的中點(diǎn)，點(diǎn)D是母線PA的中點(diǎn).

（1）求該圓錐的側(cè)面積；

（2）求異面直線PB與CD所成角的大小.

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