Question

如圖，半圓的直徑的長為4，點平分弧，過作的垂線交于，交于．
（1）求證：：
（2）若是的角平分線，求的長．

Answer 1

（1）因為點平分弧，所以弧等于弧，且，所，所以與相似，所以．又因為，所以，即．
（2）．

解析試題分析：（1）首先根據點平分弧可得，弧等于弧，且，再由等弧所對的圓周角相等即，得到與相似，進而得到對應邊成比例，將已知代入其中即可得出結論；
（2）由角平分線的定義知，，再由內錯角相等得出平行，進而求出，，在中，易求的長度．
試題解析：（1）因為點平分弧，所以弧等于弧，且，所以，所以與相似，所以．又因為，所以，即．
（2）因為是的角平分線，所以，所以平行，所以
，，所以，．
考點：圓周角定理；圓心角、弧、弦的關系．