Question

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)兩點(diǎn)在拋物線y=2x²上,l是AB的垂直平分線.

(1)當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂取何值時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論;

(2)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí),求l在y軸上截距的取值范圍.

Answer 1

解:(1)F∈l|FA|=|FB|A、B兩點(diǎn)到拋物線的準(zhǔn)線的距離相等.

∵拋物線的準(zhǔn)線是x軸的平行線,y₁≥0,y₂≥0,

依題意y₁、y₂不同時(shí)為0,

∴上述條件等價(jià)于y₁=y₂?x₁²=x₂²?(x₁+x₂)(x₁-x₂)=0.

∵x₁≠x₂,∴上述條件等價(jià)于x₁+x₂=0,

即當(dāng)且僅當(dāng)x₁+x₂=0時(shí),l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F.

(2)設(shè)l在y軸上的截距為b,依題意得l的方程為y=2x+b;過(guò)點(diǎn)A、B的直線方程可寫(xiě)為y=-x+m,

∴x₁、x₂滿足方程2x²+x-m=0,

得x₁+x₂=-.

A、B為拋物線上不同的兩點(diǎn)等價(jià)于上述方程的判別式Δ=+8m＞0,即m＞-.

設(shè)AB的中點(diǎn)N的坐標(biāo)為(x₀,y₀),則

x₀=(x₁+x₂)=-,y₀=-x₀+m=+m.

由N∈l,得+m=-+b,

于是b=+m＞

即l在y軸上的截距的取值范圍為(,+∞).