Question

已知平面直角坐標(biāo)系中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，，圓是的外接圓，過點(diǎn)（2，6）的直線為。

（1）求圓的方程；

（2）若與圓相切，求切線方程；

（3）若被圓所截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）圓C的方程為：

（2）         （3）

【解析】此題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，涉及的知識(shí)有：兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系，直線斜率的求法，直線的點(diǎn)斜式方程，兩點(diǎn)間的距離公式，線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式，點(diǎn)到直線的距離公式，垂徑定理，以及勾股定理，利用了分類討論及轉(zhuǎn)化的思想，其中當(dāng)直線與圓相交時(shí)，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點(diǎn)，進(jìn)而利用弦長(zhǎng)的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．

（1）三角形外接圓的圓心C為三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故找出邊OA與OB的垂直平分線交點(diǎn)即為圓心C，由A和O的坐標(biāo)得出直線OA的斜率，利用兩直線垂直時(shí)斜率滿足的關(guān)系求出線段OA垂直平分線的斜率，再利用線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式求出線段OA的中點(diǎn)坐標(biāo)，確定出線段OA垂直平分線的方程，找出線段OB垂直平分線的方程，兩直線解析式聯(lián)立求出兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即為圓心C的坐標(biāo)，再由C與O的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出|OC|的長(zhǎng)，即為圓C的半徑，由圓心和半徑寫出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程即可；

（2）顯然切線方程的斜率存在，設(shè)切線方程的斜率為k，由切線過（2，6），表示出切線的方程，由直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出切線的方程；

（3）當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，顯然x=2滿足題意；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，由直線l過（2，6），表示出直線l的方程，由弦長(zhǎng)及半徑，利用垂徑定理及勾股定理求出弦心距，即為圓心C到直線l的距離，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心C到直線l的距離，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出直線l的方程，綜上，得到所有滿足題意的直線l的方程