如圖所示,一個半圓和長方形組成的鐵皮,長方形的邊為半圓的直徑,為半圓的圓心,,,現(xiàn)要將此鐵皮剪出一個等腰三角形,其底邊.
(1)設,求三角形鐵皮的面積;
(2)求剪下的鐵皮三角形的面積的最大值.
(1)三角形鐵皮的面積為;(2)剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.
解析試題分析:(1)利用銳角三角函數(shù)求出和的長度,然后以為底邊、以為高,利用三角形面積公式求出三角形的面積;(2)設,以銳角為自變量將和的長度表示出來,并利用面積公式求出三角形的面積的表達式,利用與之間的關(guān)系,令將三角形的面積的表達式表示為以為自變量的二次函數(shù),利用二次函數(shù)的單調(diào)性求出三角形的面積的最大值,但是要注意自變量的取值范圍作為新函數(shù)的定義域.
試題解析:(1)由題意知,
,
,
,即三角形鐵皮的面積為;
(2)設,則,,
,
,
令,由于,所以,
則有,所以,
且,所以,
故,
而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,
故當時,取最大值,即,
即剪下的鐵皮三角形的面積的最大值為.
考點:1.三角形的面積;2.三角函數(shù)的最值;3.二次函數(shù)的最值
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