Question

如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥平面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F(xiàn)在CD上（不含C，D兩點）
（1）求多面體ABCDE的體積；
（2）若F為CD中點，求證：EF⊥面BCD；
（3 ） 當

DF

FC

的值為多少時，能使AC∥平面EFB，并給出證明．

Answer 1

分析：（1）過C作CH⊥AB于H，根據(jù)AE⊥平面ABC，AE?平面AEDB，得到平面AEDB⊥平面ABC，結(jié)合線面面面垂直的性質(zhì)證出CH⊥平面ABDE，從而得到CH就是四棱錐C-ABED的高，再用錐體的體積公式即可算出多面體ABCDE的體積；
（2）取BC中點M，連接AM、FM，由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出AM⊥平面BCD．再證出四邊形AEFM是平行四邊形，可得EF∥AM，由此即可得到EF⊥平面BCD；
（3）延長BA交DE延長線于N，連接BE，過A作AP∥BE，交DE于P，連接PC，可得當DF：FC=2：1時，AC∥平面EFB．再利用比例線段證出PC∥EF，結(jié)合線面平行的判定定理得到PC∥平面EFB，同理得到AP∥平面EFB，從而得到平面PAC∥平面EFB，可得AC∥平面EFB．

解答：解：（1）過C作CH⊥AB于H，
∵AE⊥平面ABC，AE?平面AEDB，∴平面AEDB⊥平面ABC，
∵平面AEDB∩平面ABC=AB，CH?平面ABC，CH⊥AB
∴CH⊥平面ABDE，可得CH就是四棱錐C-ABED的高
∵梯形ABDE的面積為S=

1

2

（AE+BD）•AB=3，CH=

3

2

AB=

3

∴多面體ABCDE的體積為：V=

1

3

SABDE×CH=

3

-------（6分）
（2）取BC中點M，連接AM、FM，
∵BD∥AE，AE⊥平面ABC，可得BD⊥平面ABC，∴BD⊥AM
∵正△ABC中，AM⊥CB，CB、BD是平面BCD內(nèi)的相交直線，∴AM⊥平面BCD
∵AE∥BD且AE=

1

2

BD，在△BCD中，F(xiàn)M∥BD且FM=

1

2

BD
∴AE∥FM且AE=FM，由此可得四邊形AEFM是平行四邊形，可得EF∥AM
∴EF⊥平面BCD----------（10分）
（3）延長BA交DE延長線于N，連接BE，過A作AP∥BE，交DE于P，連接PC．
則當DF：FC=2：1時，AC∥平面EFB，證明如下
∵

DE

EP

=

2

1

=

DF

FC

，∴PC∥EF
∵PC?平面EFB，EF?平面EFB，∴PC∥平面EFB，同理可證AP∥平面EFB
∵PC、AP是平面PAC內(nèi)的相交直線，∴平面PAC∥平面EFB
∵AC?平面PAC，∴AC∥平面EFB
即當

DF

FC

的值為2時，能使AC∥平面EFB---------------------（16分）

點評：本題給出特殊的四棱錐，求證線面垂直和線面平行并求了多面體的體積，著重考查了線面平面、面面平行的判定與性質(zhì)，線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．