Question

已知拋物線C：，過C上一點(diǎn)M，且與M處的切線垂直的直線稱為C在點(diǎn)M的法線．

（1）若C在點(diǎn)M的法線的斜率為，求點(diǎn)M的坐標(biāo)（x₀，y₀）；

（2）設(shè)P（－2，a）為C對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，在C上是否存在點(diǎn)，使得C在該點(diǎn)的法線通過點(diǎn)P？若有，求出這些點(diǎn)，以及C在這些點(diǎn)的法線方程；若沒有，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）M（－1，）

（2）有三個(gè)點(diǎn)（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且過這三點(diǎn)的法線過點(diǎn)P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2

解析:

（1）由題意設(shè)過點(diǎn)M的切線方程為：，代入C得，

則，，即M（－1，）．

（2）當(dāng)a＞0時(shí)，假設(shè)在C上存在點(diǎn)滿足條件．

設(shè)過Q的切線方程為：，代入

，則，

且．若時(shí)，由于

，

∴ 或  ；若k=0時(shí)，顯然也滿足要求．

∴有三個(gè)點(diǎn)（－2＋，），（－2－，）及（－2，－），

且過這三點(diǎn)的法線過點(diǎn)P（－2，a），其方程分別為：

x＋2y＋2－2a＝0，x－2y＋2＋2a＝0，x＝－2.

當(dāng)a≤0時(shí)，在C上有一個(gè)點(diǎn)（－2，－），在這點(diǎn)的法線過點(diǎn)P（－2，a），

其方程為：x＝－2.