Question

【題目】定義向量 =（a，b）的“相伴函數(shù)”為f（x）=asinx+bcosx，函數(shù)f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”為 =（a，b）（其中O為坐標原點）．記平面內(nèi)所有向量的“相伴函數(shù)”構(gòu)成的集合為S．
（1）設g（x）=3sin（x+ ）+4sinx，求證：g（x）∈S；
（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；
（3）已知M（a，b）（b≠0）為圓C：（x﹣2）2+y2=1上一點，向量 的“相伴函數(shù)”f（x）在x=x0處取得最大值．當點M在圓C上運動時，求tan2x0的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：g（x）=3sin（x+ ）+4sinx=4sinx+3cosx，

其‘相伴向量’ =（4，3），g（x）∈S

（2）解：h（x）=cos（x+α）+2cosx

=（cosxcosα﹣sinxsinα）+2cosx

=﹣sinαsinx+（cosα+2）cosx

∴函數(shù)h（x）的‘相伴向量’ =（﹣sinα，cosα+2）．

則| |= =

（3）解： 的‘相伴函數(shù)’f（x）=asinx+bcosx= sin（x+φ），

其中cosφ= ，sinφ= ．

當x+φ=2kπ+ ，k∈Z時，f（x）取到最大值，故x0=2kπ+ ﹣φ，k∈Z．

∴tanx0=tan（2kπ+ ﹣φ）=cotφ= ，

tan2x0= = = ．

為直線OM的斜率，由幾何意義知： ∈[﹣ ，0）∪（0， ]．

令m= ，則tan2x0= ，m∈[﹣ ，0）∪（0， }．

當﹣ ≤m＜0時，函數(shù)tan2x0= 單調(diào)遞減，∴0＜tan2x0≤ ；

當0＜m≤ 時，函數(shù)tan2x0= 單調(diào)遞減，∴﹣ ≤tan2x0＜0．

綜上所述，tan2x0∈[﹣ ，0）∪（0， ]．

【解析】（1）先利用誘導公式對其化簡，再結(jié)合定義即可得到證明；（2）先根據(jù)定義求出其相伴向量，再代入模長計算公式即可；（3）先根據(jù)定義得到函數(shù)f（x）取得最大值時對應的自變量x0；再結(jié)合幾何意義求出 的范圍，最后利用二倍角的正切公式即可得到結(jié)論．