Question

_{記函數(shù)f（x）的定義域?yàn)?/sub>D，若存在，使成立，則稱為坐標(biāo)的點(diǎn)為函數(shù)f（x）圖象上的不動(dòng)點(diǎn)．}

_{（1）若函數(shù)圖象上有兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的不動(dòng)點(diǎn)，求a，b應(yīng)滿足的條件；}

_{（2）在（1）的條件下，若a=8,記函數(shù)f（x） 圖象上有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)分別為A1，A2，P為函數(shù)f（x）圖象上的另一點(diǎn)，其縱坐標(biāo)>3，求點(diǎn)P到直線A1A2距離的最小值及取得最小值時(shí)的坐標(biāo)；}

_{（3）下述命題：“若定義在R}上的奇函數(shù)_{f（x）圖象上存在有限個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則不動(dòng)點(diǎn)有奇數(shù)個(gè)”是否正確？若正確，給予證明；若不正確，請(qǐng)舉一反例．}

Answer 1

解：（1）若為_{函數(shù)f（x）不動(dòng)點(diǎn)，則有，}

_{整理得          ①}            

_{根據(jù)題意可判斷方程①有兩個(gè)根，且這兩個(gè)根互為相反數(shù)，得}

>4a  且，<0

所以b=3 ,a>0                                    

而 ，所以．

即b=3，a>0，且a≠9.                                 

（2）在（1）的條件下，當(dāng)a=8時(shí)，．

由 ，解得_{兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，}

_{設(shè)點(diǎn)P（x ,y）,則y>3 ,即 >3解得x<-3 ．}

_{設(shè)點(diǎn)P（x，y）到直線A1A2的距離為d，則}

．                        

當(dāng)且僅當(dāng)，即x=―4時(shí)，取等號(hào)，此時(shí)P（―4，4）．

（3）命題正確．                              

因?yàn)?i>_{f（x）定義在R}上的奇函數(shù)，所以_f（―0）=―_f（0） ,所以0是奇函數(shù)_{f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．}

_{設(shè)c≠0}是奇函數(shù)_{f（x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn),則f（c）=c ,由，所以―c也是f （x）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)．}

_{所以奇函數(shù)f（x）的非零不動(dòng)點(diǎn)如果存在,則必成對(duì)出現(xiàn)，故奇函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)數(shù)目是奇數(shù)個(gè)．}