Question

如圖，已知圓C:(x+1)²+y²=r²(r為常數(shù)，且r＞2)，定點(diǎn)B(1，0)，A是圓C上的動(dòng)點(diǎn)，直線AC與線段AB的垂直平分線l相交于點(diǎn)M．當(dāng)點(diǎn)A在圓C上移動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)M的軌跡記為曲線F．

(1)求曲線F的方程；

(2)求證：直線l與曲線F只有一個(gè)公共點(diǎn)M；

(3)若r=4，點(diǎn)M在第一象限，且，記直線l與直線CM的夾角為，

求tan．

Answer 1

解：(1)連接MB，由題意有

|MC|+|MB|=|MC|+|MA|=|AC|=r 

又r＞|BC|=2

∴點(diǎn)M的軌跡是以C(-1,0),B(1,0)為焦點(diǎn)的橢圓

∴a=   c=1

∴曲線F的方程為： 

(2)反證法：假設(shè)直線l與橢圓F還有另一個(gè)交點(diǎn),連接C、B、A

∵點(diǎn)在l上，有|C|+|B|=|C|+|A|＞|AC|=r 

又點(diǎn)在F上,有  |C|+|B|=r,兩者矛盾

故假設(shè)不成立，原命題成立. 

(3)∵r=4,故橢圓F方程為

設(shè)點(diǎn)M（2cosθ,sinθ）

則=(2cosθ+1,sinθ),=(2cosθ-1,sinθ),

∴·=4cos²θ-1+3sin²θ=

∴cos²θ=  ∴M(1,) 

由（2）知l為橢圓F的切線，由

,當(dāng)y＞0時(shí)，有y=

∴  ∴k_l= 

[由公式求k_l不扣分（其中x₁=1,y₁=）]

又k_MC=故tanα=.