【題目】已知數(shù)列滿足：，，且．

（1）求數(shù)列前20項的和；

（2）求通項公式；

（3）設(shè)的前項和為，問：是否存在正整數(shù)、，使得？若存在，請求出所有符合條件的正整數(shù)對，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）；（2）；（3）所有的符號條件的正整數(shù)對，有且僅有和兩對，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)遞推公式直接代入求出各項，再分類求和即可.

（2）對根據(jù)的奇偶性進行分類討論，判斷出數(shù)列的性質(zhì)，最后求出數(shù)列的通項公式.

（3）根據(jù)分組求和法求出的表達式，然后根據(jù)可以求出的表達式，最后根據(jù)題意，得到的表達式，可以確定的取值范圍，然后根據(jù)的取值范圍，逐一取正整數(shù)進行判斷即可.

（1）

（2）當(dāng)是奇數(shù)時，；當(dāng)是偶數(shù)時，．所以，當(dāng)是奇數(shù)時，；當(dāng)是偶數(shù)時，．

又，，所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列；是首項為2，公比為3的等比數(shù)列．

因此，

（3）

，

．

所以，若存在正整數(shù)、，使得，則

．

顯然，當(dāng)時，；

當(dāng)時，由，整理得．顯然，當(dāng)時，；當(dāng)時，，

所以是符合條件的一個解．

當(dāng)時，

．

當(dāng)時，由，整理得，所以是符合條件的另一個解．

綜上所述，所有的符號條件的正整數(shù)對，有且僅有和兩對．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，已知直線與拋物線（）交于、兩點，為坐標(biāo)原點，.

（1）求直線的方程和拋物線的方程；

（2）若拋物線上一動點從到運動時（不與、重合），求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；

（2）射線與曲線分別交于兩點（異于原點），定點，求的面積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知數(shù)列.如果數(shù)列滿足， ，其中，則稱為的“衍生數(shù)列”.

（Ⅰ）若數(shù)列的“衍生數(shù)列”是，求；

（Ⅱ）若為偶數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，證明：的“衍生數(shù)列”是；

（Ⅲ）若為奇數(shù)，且的“衍生數(shù)列”是，的“衍生數(shù)列”是，….依次將數(shù)列，，，…的第項取出，構(gòu)成數(shù)列 .證明：是等差數(shù)列.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在下列向量組中，可以把向量＝(3，2)表示出來的是(　 　)

A. ＝(0，0)，＝(1，2)B. ＝(－1，2)，＝(5，－2)

C. ＝(3，5)，＝(6，10)D. ＝(2，－3)，＝(－2，3)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，令，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的兩個零點，判斷是否為的零點？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（Ⅰ）討論的單調(diào)性；

（Ⅱ）當(dāng)時，令，其導(dǎo)函數(shù)為，設(shè)是函數(shù)的兩個零點，判斷是否為的零點？并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，若在區(qū)間內(nèi)有且只有一個實數(shù)，使得成立，則稱函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（1）判斷函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是否具有唯一零點，說明理由：

（2）已知向量，，，證明在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點.

（3）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)具有唯一零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，過極點的兩直線l1，l2相互垂直，與曲線C分別相交于A，B兩點(不同于點O)，且l1的傾斜角為.

（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l2的直角坐標(biāo)方程；

（2）求△OAB的面積.

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