對于函數(shù)f（x）=x|x|+px+q，現(xiàn)給出四個命題：
①q=0時，f（x）為奇函數(shù)；    
②y=f（x）的圖象關(guān)于（0，q）對稱；    
③p=0，q＞0時，方程f（x）=0有且只有一個實數(shù)根；    
④方程f（x）=0至多有兩個實數(shù)根．其中正確命題的序號為（　�。�
分析：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)；②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）對稱，把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q的圖象，易得f（x）的圖象關(guān)于點（0，q）對稱；③當(dāng)p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，x＜0時，（x）=0的解為x=±
p
；④q=0，p=1時方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，即方程f（x）=0有3個實數(shù)根．
解答：解：①若f（x）為奇函數(shù)，則f（0）=q=0，
反之若q=0，f（x）=x|x|+px為奇函數(shù)，
所以①正確．
②y=x|x|+px為奇函數(shù)，圖象關(guān)于（0，0）對稱，
把y=x|x|+px圖象上下平移可得f（x）=x|x|+px+q
圖象，易得f（x）的圖象關(guān)于點（0，q）對稱．
所以②正確．
③當(dāng)p=0，q＞0時，x＞0時，方程f（x）=0的無解，
x＜0時，（x）=0的解為x=±
p
，故③不正確．
④q=0，p=1時方程f（x）=0的解為x=0或x=1或x=-1，
即方程f（x）=0有3個實數(shù)根，
故④不正確．
故選A．
點評：本題考查命題的真假判斷和應(yīng)用．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）的定義域為R，且對于一切實數(shù)x滿足f（x+2）=f（2-x），f（x+7）=f（7-x）
（1）若f（5）=9，求：f（-5）；
（2）已知x∈[2，7]時，f（x）=（x-2）2，求當(dāng)x∈[16，20]時，函數(shù)g（x）=2x-f（x）的表達(dá)式，并求出g（x）的最大值和最小值；
（3）若f（x）=0的一根是0，記f（x）=0在區(qū)間[-1000，1000]上的根數(shù)為N，求N的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為A，若存在非零實數(shù)t，使得對于任意x∈C（C⊆A），有x+t∈A，且f（x+t）≤f（x），則稱f（x）為C上的t低調(diào)函數(shù)．如果定義域為[0，+∞）的函數(shù)f（x）=-|x-m2|+m2，且 f（x）為[0，+∞）上的10低調(diào)函數(shù)，那么實數(shù)m的取值范圍是（　�。�
A、[-5，5]
B、[-
5
，
5
]
C、[-
10
，
10
]
D、[-
5
2
，
5
2
]

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

對于函數(shù)f（x）定義域中任意的x1，x2（x1≠x2）有如下結(jié)論
①f（x1+x2）=f（x1）•f（x2）；
②f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）；
③
f(x1)-f(x2)
x1-x2
＞0；
④f(
x1+x2
2
)＜
f(x1)+f(x2)
2
．
當(dāng)f(x)=(
1
2
)x時，上述結(jié)論中正確的序號是（　�。�
A、①②B、①④C、②③D、③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：徐州模擬 題型：解答題

設(shè)函數(shù)f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數(shù)y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關(guān)于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數(shù)恰有3個，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）對于函數(shù)f（x）與g（x）定義域上的任意實數(shù)x，若存在常數(shù)k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數(shù)f（x）與g（x）的“分界線”．設(shè)a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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