Question

【題目】如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分別是AC，A1B1的中點(diǎn).

（1）證明：EF⊥BC；

（2）求直線EF與平面A1BC所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）方法一：連接，證明BC⊥平面A1EF，從而EF⊥BC；

方法二：由條件證明A1E⊥平面ABC，以E為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系

計(jì)算，從而EF⊥BC.

（2）方法一：取BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，證明平面A1BC⊥平面EGFA，從而確定∠EOG是直線EF與平面A1BC所成角（或其補(bǔ)角），運(yùn)用余弦定理求得cos∠EOG，最終得出答案.

方法二：建立空間直角坐標(biāo)系，先求出平面A1BC的法向量，利用向量與的夾角為所求角的正弦，即可求出.

方法一：

證明：（1）連結(jié)A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，

∴A1E⊥AC，

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，

∴A1E⊥平面ABC，∴A1E⊥BC，

∵A1F∥AB，∠ABC＝90°，∴BC⊥A1F，

∴BC⊥平面A1EF，∴EF⊥BC.

解：（2）取BC中點(diǎn)G，連結(jié)EG、GF，則EGFA1是平行四邊形，

由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，

∴平行四邊形EGFA1是矩形，

由（1）得BC⊥平面EGFA1，

則平面A1BC⊥平面EGFA1，

∴EF在平面A1BC上的射影在直線A1G上，

連結(jié)A1G，交EF于O，則∠EOG是直線EF與平面A1BC所成角（或其補(bǔ)角），

不妨設(shè)AC＝4，則在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝，

∵O是A1G的中點(diǎn)，故，

∴cos∠EOG，

∴直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.

方法二：

證明：（1）連結(jié)A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中點(diǎn)，

∴A1E⊥AC，

又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E平面A1ACC1，

平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，

∴A1E⊥平面ABC，

如圖，以E為原點(diǎn)，在平面ABC中，過E作AC的垂線為x軸，

EC，EA1所在直線分別為y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AC＝4，則A1（0，0，2），B（），B1（），F（），C（0，2，0），

（），（）

由0，得EF⊥BC.

解：（2））設(shè)直線EF與平面A1BC所成角為θ，

由（1）得（），（0，2，﹣2），

設(shè)平面A1BC的法向量（x，y，z），

則，取x＝1，得（1，），

∴sinθ，

∴直線EF與平面A1BC所成角的余弦值為.