Question

已知圓C：x²+（y-3）²=4，一動(dòng)直線l過A（-1，0）與圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，M是PQ中點(diǎn)，l與直線m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求證：當(dāng)l與m垂直時(shí)，l必過圓心C；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求直線l的方程；
（Ⅲ）探索是否與直線l的傾斜角有關(guān)，若無關(guān)，請(qǐng)求出其值；若有關(guān)，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵直線l與直線m垂直，且，
∴k_l=3，又k_AC=3，
所以當(dāng)直線l與m垂直時(shí)，直線l必過圓心C；
（Ⅱ）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知x=-1符合題意，
②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），即kx-y+k=0，
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/146316.png' />，所以，
則由，得，
∴直線l：4x-3y+4=0．
從而所求的直線l的方程為x=-1或4x-3y+4=0；
（Ⅲ）因?yàn)镃M⊥MN，
∴，
當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易得，
則，又，
∴，
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），
則由，得N（，），
則，
∴=，
綜上，與直線l的斜率無關(guān)，且．
分析：（Ⅰ）由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的乘積為-1，由直線m的斜率求出直線l的斜率，根據(jù)點(diǎn)A和圓心坐標(biāo)求出直線AC的斜率，得到直線AC的斜率與直線l的斜率相等，所以得到直線l過圓心；
（Ⅱ）分兩種情況：①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，求出直線l的方程；②當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，寫出直線l的方程，根據(jù)勾股定理求出CM的長，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到所設(shè)直線l的距離d，讓d等于CM，列出關(guān)于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，寫出直線l的方程即可；
（Ⅲ）根據(jù)CM⊥MN，得到•等于0，利用平面向量的加法法則化簡等于•，也分兩種情況：當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，求得N的坐標(biāo)，分別表示出和，求出兩向量的數(shù)量積，得到其值為常數(shù)；當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)出直線l的方程，與直線m的方程聯(lián)立即可求出N的坐標(biāo)，分別表示出和，求出兩向量的數(shù)量積，也得到其值為常數(shù)．綜上，得到與直線l的傾斜角無關(guān)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生掌握兩直線垂直時(shí)斜率滿足的條件，靈活運(yùn)用平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡求值，靈活運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式化簡求值，會(huì)利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題，是一道綜合題．