Question

設(shè)雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A₁、A₂，垂直于x軸的直線m與雙曲線C交于不同的兩點(diǎn)。

（1）若直線m與x軸正半軸的交點(diǎn)為T，且，求點(diǎn)T的坐標(biāo)；

（2）求直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的軌跡E的方程；

（3）過點(diǎn)F（1，0）作直線l與（Ⅱ）中的軌跡E交于不同的兩點(diǎn)A、B，設(shè)，若（T為（1）中的點(diǎn)）的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） 

（2） 

（3）

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，求得向量的坐標(biāo)，利用 ，P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得結(jié)論；

（2）利用三點(diǎn)共線建立方程，利用P（x₀，y₀）在雙曲線上，即可求得軌跡方程；

（3）用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理，求得模長，從而可得函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而可求其范圍．

解：（1）由題，得，設(shè)

則

由  ……①

又在雙曲線上，則   ……②

聯(lián)立①、②，解得    由題意，

∴點(diǎn)T的坐標(biāo)為（2，0） 

（2）設(shè)直線A₁P與直線A₂Q的交點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y）

由A₁、P、M三點(diǎn)共線，得

   ……③ 

由A₂、Q、M三點(diǎn)共線，得

   ……④  聯(lián)立③、④，解得    

∵在雙曲線上，∴∴軌跡E的方程為 

（3）容易驗(yàn)證直線l的斜率不為0。

故可設(shè)直線l的方程為中，得  

設(shè)

則由根與系數(shù)的關(guān)系，得  ……⑤  ……⑥

∵ ∴有

將⑤式平方除以⑥式，得 

由

 

∵

又

故

考點(diǎn)：本試題主要考查了軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．

點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是借助于向量關(guān)系式來表示得到坐標(biāo)，同時(shí)能利用三點(diǎn)共線，進(jìn)而得到坐標(biāo)關(guān)系，解得軌跡方程。易錯(cuò)點(diǎn)就是設(shè)而不求的思想，在運(yùn)算中的準(zhǔn)確表示。