【題目】已知直線l:y=ax+1﹣a(a∈R).若存在實(shí)數(shù)a使得一條曲線與直線l有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且以這兩個(gè)交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段長(zhǎng)度恰好等于|a|,則稱此曲線為直線l的“絕對(duì)曲線”.下面給出四條曲線方程:①y=﹣2|x﹣1|;②y=x2;③(x﹣1)2+(y﹣1)2=1;④x2+3y2=4;則其中直線l的“絕對(duì)曲線”有( )
A.①④
B.②③
C.②④
D.②③④
【答案】D
【解析】解:①由直線y=ax+1﹣a,可知此直線過點(diǎn)A(1,1),y=﹣2|x﹣1|= ,
如圖所示,直線l與函數(shù)y=﹣2|x﹣1|的圖象只能由一個(gè)交點(diǎn),故不是“絕對(duì)函數(shù)”;
②y=x2與l:y=ax+1﹣a聯(lián)立 解得 或 ,
此兩個(gè)交點(diǎn)的距離 =|a|,化為(a﹣2)2(1+a2)﹣a2=0,
令f(a)=(a﹣2)2(1+a2)﹣a2 , 則f(1)=2﹣1=1>0,f(2)=0﹣4<0,因此函數(shù)f(a)在區(qū)間(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn),即方程(a﹣2)2(1+a2)﹣a2=0,有解.
故此函數(shù)是“絕對(duì)函數(shù)”;
③(x﹣1)2+(y﹣1)2=1是以(1,1)為圓心,1為半徑的圓,此時(shí)直線l總會(huì)與此圓由兩個(gè)交點(diǎn),且兩個(gè)交點(diǎn)的距離是圓的直徑2,∴存在a=±2滿足條件,故此函數(shù)是“絕對(duì)函數(shù)”;
④把直線y=ax+1﹣a代入x2+3y2=4得(3a2+1)x2+6a(1﹣a)x+3(1﹣a)2﹣4=0,
∴ , .
若直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)是|a|,則 = ,
化為 ,
令f(a)= ,而f(1)= ,f(3)= .
∴函數(shù)f(a)在區(qū)間(1,3)內(nèi)有零點(diǎn),即方程f(a)=0有實(shí)數(shù)根,而直線l過橢圓上的定點(diǎn)(1,1),當(dāng)a∈(1,3)時(shí),直線滿足條件,即此函數(shù)是“絕對(duì)函數(shù)”.
綜上可知:能滿足題意的曲線有②③④.
故選D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨著資本市場(chǎng)的強(qiáng)勢(shì)進(jìn)入,互聯(lián)網(wǎng)共享單車“忽如一夜春風(fēng)來”,遍布了一二線城市的大街小巷.為了解共享單車在市的使用情況,某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到表格:(單位:人)
經(jīng)常使用 | 偶爾或不用 | 合計(jì) | |
30歲及以下 | 70 | 30 | 100 |
30歲以上 | 60 | 40 | 100 |
合計(jì) | 130 | 70 | 200 |
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用共享單車情況與年齡有關(guān)?
(2)現(xiàn)從所抽取的30歲以上的網(wǎng)友中利用分層抽樣的方法再抽取5人.
(i)分別求這5人中經(jīng)常使用、偶爾或不用共享單車的人數(shù);
(ii)從這5人中,再隨機(jī)選出2人贈(zèng)送一件禮品,求選出的2人中至少有1人經(jīng)常使用共享單車的概率.
參考公式: ,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如今我們的互聯(lián)網(wǎng)生活日益豐富,除了可以很方便地網(wǎng)購(gòu),網(wǎng)上叫外賣也開始成為不少人日常生活中不可或缺的一部分.為了解網(wǎng)絡(luò)外賣在市的普及情況,市某調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了關(guān)于網(wǎng)絡(luò)外賣的問卷調(diào)查,并從參與調(diào)查的網(wǎng)民中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析,得到下表:(單位:人)
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.15的前提下認(rèn)為市使用網(wǎng)絡(luò)外賣的情況與性別有關(guān)?
(2)①現(xiàn)從所抽取的女網(wǎng)民中利用分層抽樣的方法再抽取5人,再?gòu)倪@5人中隨機(jī)選出3人贈(zèng)送外賣優(yōu)惠券,求選出的3人中至少有2人經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的概率;
②將頻率視為概率,從市所有參與調(diào)查的網(wǎng)民中隨機(jī)抽取10人贈(zèng)送禮品,記其中經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)外賣的人數(shù)為,求的數(shù)學(xué)期望和方差.
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ), =({1,0).
(1)求向量 + 的長(zhǎng)度的最大值;
(2)設(shè)α= , <β< ,且 ⊥( ﹣ ),求 的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了解我市高二年級(jí)進(jìn)行的一次考試中數(shù)學(xué)成績(jī)的分布狀況,有關(guān)部門隨機(jī)抽取了一個(gè)樣本,對(duì)數(shù)學(xué)成績(jī)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)分析如下表:
(1)求出表中m、n、M,N的值,并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在下面給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖:
分組 | 頻數(shù) | 頻率 |
[0,30) | 3 | 0.03 |
[30,60) | 3 | 0.03 |
[60,90) | 37 | 0.37 |
[90,120) | m | n |
[120,150) | 15 | 0.15 |
合計(jì) | M | N |
(2)若我市參加本次考試的學(xué)生有18000人,試估計(jì)這次測(cè)試中我市學(xué)生成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù);
(3)為了深入分析學(xué)生的成績(jī),有關(guān)部門擬從分?jǐn)?shù)不超過60的學(xué)生中選取2人進(jìn)行進(jìn)一步分析,求被選中2人分?jǐn)?shù)均不超過30分的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若函數(shù)在上具有單調(diào)性,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅱ)若在區(qū)間上,函數(shù)的圖象恒在圖象上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC的三角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c滿足(2b﹣c)cosA=acosC.
(1)求A的值;
(2)若a=2,求△ABC面積的最大值;
(3)若a=2,求△ABC周長(zhǎng)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓 的離心率 ,過點(diǎn)A(0,﹣b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為 .
(1)求橢圓的方程;
(2)已知定點(diǎn)E(﹣1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn),問:是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過E點(diǎn)?請(qǐng)說明理由.
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