設(shè)m，n∈N，f（x）=（1+2x）m+（1+x）n．
（Ⅰ）當(dāng)m=n=2011時(shí)，記f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a2011x2011，求a0-a1+a2-…-a2011；
（Ⅱ）若f（x）展開(kāi)式中x的系數(shù)是20，則當(dāng)m、n變化時(shí)，試求x2系數(shù)的最小值．
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，令x=-1，結(jié)合f（x）的表達(dá)式，可得f（-1）與a0-a1+a2-…-a2011的關(guān)系，進(jìn)而可得答案；
（Ⅱ）根據(jù)二項(xiàng)式定理，可得x的系數(shù)是2Cm1+Cn1=2m+n，結(jié)合題意，可得m、n的關(guān)系，又結(jié)合二項(xiàng)式定理可得x2的系數(shù)為22Cm2+Cn2=4m2-41m+190；由二次函數(shù)的性質(zhì)，分析可得答案．
解答：解：（Ⅰ）在f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a2011x2011中，
令x=-1，得f（-1）=a0-a1+a2-…-a2011，
又有f（-1）=（1-2）2011+（1-1）2011，
則a0-a1+a2-…-a2011=-1，
（Ⅱ）因?yàn)?Cm1+Cn1=2m+n=20，所以n=20-2m，
則x2的系數(shù)為22Cm2+Cn2=4×
m(m-1)
2
+
n(n-1)
2
=2m2-2m+
1
2
(20-2m)(19-2m)=4m2-41m+190；
所以當(dāng)m=5，n=10時(shí)，f（x）展開(kāi)式中x2的系數(shù)最小，最小值為85．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，解此類題目注意賦值法的運(yùn)用，令x=0或±1是常見(jiàn)的賦值思路．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)m，n∈N，f（x）=（1+x）m+（1+x）n，
（1）當(dāng)m=n=7時(shí)，若f（x）=a7x7+a6x6+a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0求a0+a2+a4+a6．
（2）當(dāng)m=n時(shí)，若f（x）展開(kāi)式中x2的系數(shù)是20，求n的值．
（3）f（x）展開(kāi)式中x的系數(shù)是19，當(dāng)m，n變化時(shí)，求x2系數(shù)的最小值．

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（2）若f（x） 展開(kāi)式中 的系數(shù)是19，當(dāng) m，n變化時(shí)，求x2系數(shù)的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年福建省泉州一中高二（下）期末數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）構(gòu)成的集合：“①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）滿足0＜f'（x）＜1．”
（1）判斷函數(shù)是否是集合M中的元素，并說(shuō)明理由；
（2）集合M中的元素f（x）具有下面的性質(zhì)：若f（x）的定義域?yàn)镈，則對(duì)于任意[m，n]30D，都存在-15P[m，n]，使得等式f（n）-f（m）=（n-m）f'（x）成立”，試用這一性質(zhì)證明：方程f（x）-x=0只有一個(gè)實(shí)數(shù)根；
（3）設(shè)是方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于f（x）定義域中任意的x2，x3，當(dāng)|x2-x1|＜1，且|x3-x1|＜1時(shí)，|f（x3）-f（x2）|＜2．

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