【題目】已知橢圓C:1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F,離心率為,且有3a2=4b2+1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作直線(xiàn)x=3的垂線(xiàn),垂足為點(diǎn)P,證明直線(xiàn)NP經(jīng)過(guò)定點(diǎn),并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(1)1;(2)見(jiàn)解析,定點(diǎn)(2,0).
【解析】
(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和a,b,c的關(guān)系,結(jié)合條件,解方程可得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)求得F的坐標(biāo),討論直線(xiàn)l不與x軸重合,設(shè)出直線(xiàn)l的方程,聯(lián)立橢圓方程,運(yùn)用韋達(dá)定理和直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)的求法,可得所求定點(diǎn);討論當(dāng)直線(xiàn)l與x軸重合也成立.
(1)由e,所以11,
聯(lián)立方程組,解得a2=3,b2=2,
所以橢圓的方程為1;
(2)證明:由(1)可得F(1,0),
當(dāng)直線(xiàn)l不與x軸重合時(shí),設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=my+1,
聯(lián)立橢圓方程2x2+3y2=6,消去x可得(3+2m2)y2+4my4=0,,
設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),可得y1+y2,y1y2,
且點(diǎn)P(3,y1),則NP的方程為(x2﹣3)y=(y2﹣y1)(x﹣3)+y1(x2﹣3),
又x2=my2+1,所以(my22)y=(y2y1)(x3)+my1y22y1(*)
由y1+y2,y1y2可得my1y2=y1+y2,
則(*)式可變形為(my22)y=(y2y1)(x3)y1+y2.
所以(my2﹣2)y=(y2﹣y1)(x﹣2),即直線(xiàn)NP經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0).
當(dāng)直線(xiàn)l與x軸重合時(shí),顯然直線(xiàn)NP也經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0),
綜上,直線(xiàn)NP經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(2,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某地區(qū)經(jīng)過(guò)一年的新農(nóng)村建設(shè),農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍,實(shí)現(xiàn)翻番.為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況,統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例,得到如下餅圖:
則下面結(jié)論中正確的是( )
A.新農(nóng)村建設(shè)后,種植收入減少
B.新農(nóng)村建設(shè)后,其他收入增加了
C.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入沒(méi)有增加
D.新農(nóng)村建設(shè)后,養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】中學(xué)為研究學(xué)生的身體素質(zhì)與體育鍛煉時(shí)間的關(guān)系,對(duì)該校200名高三學(xué)生平均每天體育鍛煉時(shí)間進(jìn)行調(diào)查,如表:(平均每天鍛煉的時(shí)間單位:分鐘)
平均每天鍛煉的時(shí)間/分鐘 | ||||||
總?cè)藬?shù) | 20 | 36 | 44 | 50 | 40 | 10 |
將學(xué)生日均體育鍛煉時(shí)間在的學(xué)生評(píng)價(jià)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”.
(1)請(qǐng)根據(jù)上述表格中的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)下面的列聯(lián)表;
鍛煉不達(dá)標(biāo) | 鍛煉達(dá)標(biāo) | 合計(jì) | |
男 | |||
女 | 20 | 110 | |
合計(jì) |
并通過(guò)計(jì)算判斷,是否能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.025的前提下認(rèn)為“鍛煉達(dá)標(biāo)”與性別有關(guān)?
(2)在“鍛煉達(dá)標(biāo)”的學(xué)生中,按男女用分層抽樣方法抽出10人,進(jìn)行體育鍛煉體會(huì)交流,
(i)求這10人中,男生、女生各有多少人?
(ii)從參加體會(huì)交流的10人中,隨機(jī)選出2人作重點(diǎn)發(fā)言,記這2人中女生的人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考公式:,其中.
臨界值表
0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知斜率為1的直線(xiàn)交拋物線(xiàn):()于,兩點(diǎn),且弦中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)記點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作兩條直線(xiàn),分別交拋物線(xiàn)于,(,不同于點(diǎn))兩點(diǎn),且的平分線(xiàn)與軸垂直,求證:直線(xiàn)的斜率為定值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知定義在R上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(x)=f(2﹣x),導(dǎo)函數(shù)為f′(x).當(dāng)x>1時(shí),2f(x)+(x﹣1)f′(x)>0,且f(﹣1),則不等式f(x)<6(x﹣1)﹣2的解集為( )
A.(﹣1,1)∪(1,4)B.(﹣1,1)∪(1,3)
C.(,1)∪(1,2)D.(,1)∪(1,)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,及點(diǎn),且、、成等比數(shù)列.
(1)求橢圓的方程;
(2)斜率不為的動(dòng)直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)且與橢圓相交于、兩點(diǎn),記,線(xiàn)段上的點(diǎn)滿(mǎn)足,試求(為坐標(biāo)原點(diǎn))面積的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知無(wú)窮數(shù)列的前項(xiàng)中的最大項(xiàng)為,最小項(xiàng)為,設(shè).
(1)若,求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)若,求數(shù)列的前項(xiàng)和;
(3)若數(shù)列是等差數(shù)列,求證:數(shù)列是等差數(shù)列.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】圖1是直角梯形,,,,,,.以為折痕將折起,使點(diǎn)到達(dá)的位置,且,如圖2.
(1)證明:平面平面;
(2)求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,菱形與等邊所在平面互相垂直,,,,分別是線(xiàn)段,的中點(diǎn).
(1)求證:平面;
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
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