Question

證明以下命題：
（1）對任一正整數，都存在正整數，使得成等差數列；
（2）存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列.

Answer 1

存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列

證明：（1）易知成等差數列，故也成等差數列，
所以對任一正整數，都存在正整數，使得成等差數列．
（2）若成等差數列，則有，
即                                        …… ①
選取關于的一個多項式，例如，使得它可按兩種方式分解因式，由于

因此令，可得    …… ②
易驗證滿足①，因此成等差數列，
當時，有且
因此為邊可以構成三角形．
其次，任取正整數，假若三角形與相似，則有：
，據比例性質有：

所以，由此可得，與假設矛盾，
即任兩個三角形與互不相似，
所以存在無窮多個互不相似的三角形,其邊長為正整數且成等差數列．