Question

設(shè)圓C：（x-2）²+y²=3，此圓與拋物線y²=px（p＞0）有四個不同的交點(diǎn)，若在x軸上方的兩交點(diǎn)分別為A，B，坐標(biāo)原點(diǎn)為O，△AOB的面積為s．
（1）求實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）求s關(guān)于p的函數(shù)f（p）的表達(dá)式及s的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）圓C：（x-2）²+y²=3與拋物線y²=px（p＞0）聯(lián)立，利用曲線有四個不同的交點(diǎn)，A，B在x軸上方，即可求得實(shí)數(shù)p的取值范圍；
（2）利用韋達(dá)定理確定直線AB的方程，求出|AB|，O到AB的距離，即可求s關(guān)于p的函數(shù)f（p）的表達(dá)式，利用基本不等式，即可求s的取值范圍．

解答：解：（1）圓C：（x-2）²+y²=3與拋物線y²=px（p＞0）聯(lián)立，得到x²+（p-4）x+1=0，
又因?yàn)?span id="nyqc6qs" class="MathJye">

(p-4)2-4＞0 4-p＞0

，解得0＜p＜2
所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是0＜p＜2…..（4分）
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）可得x₁+x₂=4-p，x₁x₂=1，y₁y₂=p
由

y

2 1

+

y

2 2

=p(x1+x2)得到y1+y2=

6p-p2

…..（6分）
因?yàn)?span id="pu6ovji" class="MathJye">kAB=

y1-y2

x1-x2

=

p

y1+y2

，所以l_AB：y-y1=

p

y1+y2

(x-x1)，整理得到px-

6p-p2

y+p=0…..（8分）所以O(shè)到AB的距離為d=

p 6

…..（10分）
因?yàn)?span id="w1suxbd" class="MathJye">|AB|=

[(x1+x2)2-4x1x2]+[(y1+y2)2-4y1y2]

=

12-6p

，
所以s=

1

2

•

12-6p

•

p 6

=

1

2

p(2-p)

因?yàn)?span id="kmhautn" class="MathJye">s=

1

2

p(2-p)

≤

1

2

，所以s∈(0，

1

2

]…..（12分）

點(diǎn)評：本題考查圓與拋物線的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．