Question

一個正四棱柱形的密閉容器底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實心裝飾快，容器內盛有a升水時，水面恰好經過正四棱錐的頂點P．如果將容器倒置，水面也恰好過點P，有下列四個命題：
1）任意擺放該容器，當水面靜止時，水面都恰好經過點P；
2）正四棱錐的高等于正四棱柱的高的一半；
3）若往容器內再注a升水，則容器恰好能裝滿；
4）將容器側面水平放置時，水面也恰好過P．
其中真命題的代號為

 

．

Answer 1

分析：設出圖1）的水高，和幾何體的高，底面邊長，
  計算水的體積，容易判斷2）、3）的正誤；
  對于4），當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，根據體積判斷它是正確的．
  對于1）根據當水面與正四棱錐的一個側面重合時，計算水的體積和實際不符，是錯誤   的．

解答：解：設圖（1）水的高度h₂幾何體的高為h₁，底面邊長為b   
圖（1）中水的體積為

2

3

b²h₂，
圖（2）中水的體積為b²h₁-b²h₂=b²（h₁-h₂），
所以

2

3

b²h₂=b²（h₁-h₂），所以h₁=

5

3

h₂，故2）錯誤，3）正確．
對于4），當容器側面水平放置時，P點在長方體中截面上，
又水占容器內空間的一半，所以水面也恰好經過P點，故4）正確．
對于1），假設1）正確，當水面與正四棱錐的一個側面重合時，
經計算得水的體積為

25

36

b²h₂＞

2

3

b²h₂，矛盾，故1）不正確．
故答案為：3）4）．

點評：本題考查空間想象能力，邏輯思維能力，幾何體的體積．