已知函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,x∈R,a,b為常數(shù).
(1)若函數(shù)f(x)在x=1處有極值10,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),
①方程f(x)=2在x∈[-2,4]上恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
②不等式f(x)+2b≥0對(duì)?x∈[1,4]恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
分析:(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)在x=1的值為0,令函數(shù)在x=1的值10,列出方程組,求出a,b的值,將求出的a,b值代入導(dǎo)函數(shù),判斷是否在x=0取得極值.
(2)①構(gòu)造新函數(shù),求出新函數(shù)的導(dǎo)數(shù),通過(guò)對(duì)b的討論,判斷出函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的極值,據(jù)方程根的個(gè)數(shù),判斷出極值的符號(hào),列出不等式求出b的范圍.
②通過(guò)對(duì)x的分段討論分離出b,構(gòu)造函數(shù),通過(guò)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值,求出b的范圍.
解答:解:(1)f′(x)=3x2-2ax-b,
由f(x)在x=1處有極值10,得f’(1)=0,f(1)=10.                      
即3-2a-b=0,1-a-b+a?2=10,
解得a=3,b=-3或a=-4,b=11.  
經(jīng)檢驗(yàn),a=3,b=-3不合題意,舍去.
∴a=-4,b=11.                             
(2)由于函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,
由函數(shù)f(x)是奇函數(shù),得f(0)=0,
∴a=0.      
①由f(x)=2,得f(x)-2=0,
令g(x)=f(x)-2=x3-bx-2,
則方程g(x)=0在x∈[-2,4]上恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解.
∵g′(x)=3x2-b,
(。┤鬮≤0,則g′(x)≥0恒成立,且函數(shù)g(x)不為常函數(shù),
∴g(x)在區(qū)間[-2,4]上為增函數(shù),g(0)=0,
所以,g(x)=0在區(qū)間[-2,4]上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.
不合題意,舍去.
(ⅱ)若b>0,則函數(shù)g(x)在區(qū)間(-∞,-
b
3
)上為增函數(shù),在區(qū)間(-,
b
3
)上為減函數(shù),
在區(qū)間(
b
3
,+∞)上為增函數(shù),
由方程g(x)=0在x∈[-2,4]上恰有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解,
可得
f(-2)≤0
f(-
b
3
)>0
f(4)≥0

解得
b≤5
b>3
b≤
31
2

∴b∈(3,5]
②由不等式f(x)+2b≥0,得x3-bx+2b≥0,即(x-2)b≤x3
(。┤魓-2=0即x=2時(shí),b∈R;            
(ⅱ)若x-2<0即x∈[1,2)時(shí),b≥
x3
x-2
在區(qū)間[1,2)上恒成立,
令h(x)=
x3
x-2
,則b≥h(x)max
∵h(yuǎn)′(x)=
2x2(x-3)
(x-2)2
,
∴h′(x)<0在x∈[1,2)上恒成立,
所以h(x)在區(qū)間[1,2)上是減函數(shù),
∴h(x)max=h(1)=-1,
∴b≥-1.          
(ⅲ)若x-2>0即x∈(2,4]時(shí),b≤
x3
x-2
在區(qū)間(2,4]上恒成立,則b≤h(x)min
由(ⅱ)可知,函數(shù)所以h(x)在區(qū)間(2,3)上是減函數(shù),在區(qū)間(3,4]上是增函數(shù),
∴h(x)min=h(3)=27,
∴b≤27.                                
綜上所述,b∈[-1,27].
點(diǎn)評(píng):解決函數(shù)的極值問(wèn)題要注意:極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為0是函數(shù)取得極值的必要不充分條件;解決不等式恒成立問(wèn)題常采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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