Question

函數(shù)f(x)=x3+

3

2

(m+2)x2+6mx+1既有極大值又有極小值，若f（x）的極大值為1，求m的值．

Answer 1

分析：先由條件“既有極大值又有極小值”得f'（x）=0有兩個不等實(shí)根，再根據(jù)極值的求解方法求出極大值，最后對求得的m進(jìn)行驗(yàn)證．

解答：解：f'（x）=3x²+3（m+2）x+6m=3（x+2）（x+m）
，∵f（x）既有極大值又有極小值，
∴f'（x）=3（x+2）（x+m）=0有兩個不等實(shí)根-2和-m，
∴m≠2（m∈R）；
若f（-2）=5-6m=1，
則m=

2

3

，當(dāng)x＜-2時(shí)，f'（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜-

2

3

時(shí)，
f'（x）＜0，f（x）在x=-2處取的極大值，
所以m=

2

3

合題意．若f(-m)=

1

2

(m3-6m2)+1=1，
則m=0或m=6．當(dāng)m=0時(shí)，
∴f'（x）=3x（x+2）在區(qū)間（-2，0）上小于0，在區(qū)間（0，+∞）上大于0，f（x）在x=0上取得極小值，不合題意．
當(dāng)m=6時(shí)，
∴f'（x）=3（x+2）（x+6）=0在區(qū)間（-∞，-6）上大于0，在區(qū)間（-6，-2）上小于0，在x=-m=-6處取得極大值，合題意
．總之m=

2

3

或m=6．

點(diǎn)評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，極值問題是高考中常見問題，屬于基礎(chǔ)題．