【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)是否存在實數(shù),使函數(shù)在上有最小值2?若存在,求出的值,若不存在,請說明理由.
【答案】(1)減區(qū)間為,增區(qū)間為;(2)存在,最小值是.
【解析】
試題分析:(1)借助題設條件運用導數(shù)的有關知識求解;(2)借助題設運用導數(shù)知識分類探求.
試題解析:
(1),,
,
令,得,
令,得,
的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.………………………………4分
(2),
,
(i)當,恒成立,即在上單調(diào)遞增,無最小值,不滿足題意.
(ii)當,令,得,
所以當時,,當時,,
此時在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.
若,則函數(shù)在上的最小值,
由得,滿足,符合題意;
若,則函數(shù)在上的最小值,
由得,不滿足,不符合題意,舍.
綜上可知,存在實數(shù),使函數(shù)在上有最小值2.………………………………12分
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值和單調(diào)區(qū)間;
(2)若在區(qū)間上至少存在一點,使得成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù),其中.
(1)若是函數(shù)的極值點,求實數(shù)的值;
(2)若對任意的(為自然對數(shù)的底數(shù))都有成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為,橢圓過點,直線交軸于,且,為坐標原點.
(1)求橢圓的方程;
(2)設是橢圓的上頂點,過點分別作直線交橢圓于,兩點,設這兩條直線的斜率分別為,且,證明:直線過定點.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)(為常數(shù),),且數(shù)列是首項為2,公差為2的等差數(shù)列.
(1)若,當時,求數(shù)列的前項和;
(2)設,如果中的每一項恒小于它后面的項,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在一個不透明的盒子中,放有標號分別為,,,的四個大小相同的小球,現(xiàn)從這個盒子中,有放回地先后取得兩個小球,其標號分別為,.
(1)求事件的概率;
(2)求事件的概率.
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【題目】一個長方體的平面展開圖及該長方體的直觀圖的示意圖如圖所示.
(1)請將字母標記在長方體相應的頂點處(不需說明理由);
(2)在長方體中,判斷直線與平面的位置關系,并證明你的結論;
(3)在長方體中,設的中點為,且,,求證:
平面.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1是四棱錐的直觀圖,其正(主)視圖和側(左)視圖均為直角三角形,俯視圖外框為矩形,相關數(shù)據(jù)如圖2所示.
(1)設中點為,在直線上找一點,使得平面,并說明理由;
(2)若二面角的平面角的余弦值為,求四棱錐的外接球的表面積.
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