解:(Ⅰ)若
,則
;
;
;
;
.
若
,則
;
;
;
. ………4分
(Ⅱ)先證存在性,若數(shù)列
滿足
及
,則定義變換
,變換
將數(shù)列
變?yōu)閿?shù)列
:
.
易知
和
是互逆變換. ………5分
對于數(shù)列
連續(xù)實施變換
(一直不能再作
變換為止)得
,
則必有
(若
,則還可作變換
).反過來對
作有限次變換
,即可還原為數(shù)列
,因此存在數(shù)列
滿足條件.
下用數(shù)學歸納法證唯一性:當
是顯然的,假設(shè)唯一性對
成立,考慮
的情形.
假設(shè)存在兩個數(shù)列
及
均可經(jīng)過有限次
變換,變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210907501494.png" style="vertical-align:middle;" />,這里
,
若
,則由變換
的定義,不能變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210907501494.png" style="vertical-align:middle;" />;
若
,則
,經(jīng)過一次
變換,有
由于
,可知
(至少3個1)不可能變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210907501494.png" style="vertical-align:middle;" />.
所以
,同理
令
,
,
則
,所以
,
.
因為
,
,
故由歸納假設(shè),有
,
.
再由
與
互逆,有
,
,
所以
,
,從而唯一性得證. ………9分
(Ⅲ)顯然
,這是由于若對某個
,
,則由變換的定義可知,
通過變換,不能變?yōu)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823210909076262.png" style="vertical-align:middle;" />.由變換
的定義可知數(shù)列
每經(jīng)過一次變換,
的值或者不變,或者減少
,由于數(shù)列
經(jīng)有限次變換
,變?yōu)閿?shù)列
時,有
,
,
所以
為整數(shù)
,于是
,
,
所以
為
除以
后所得的余數(shù),即
.………13分