Question

【題目】在單位正內(nèi)任取一點(diǎn)P，以PA、PB、PC為邊生成．

（1）當(dāng)分別為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形時(shí)，求出點(diǎn)P的軌跡．

（2）證明：當(dāng)的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，面積取最大值．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

如圖，記．

將繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，則，．就是由PA、PB、PC所組成的，且其三個(gè)內(nèi)角，，．

（1）當(dāng)存在時(shí)，為直角三角形．

由，知．

所以，點(diǎn)P在三個(gè)單位圓的弧AB、BC、CA上（圖）．

當(dāng)存在時(shí)，為鈍角三角形．

由，知．

由圓內(nèi)角大于圓周角知，點(diǎn)P在圖中的三個(gè)弓形內(nèi)（陰影部分，不包括邊界）．

當(dāng)，，同時(shí)成立時(shí)，為銳角三角形，得，，．

由圓外角小于圓周角知，點(diǎn)P在圖8中的三個(gè)圓弧外（曲邊內(nèi)部，不包括邊界）．

（2）先確定周長(zhǎng)取最小值時(shí)點(diǎn)P的位置．為此，將如圖的繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得，聯(lián)結(jié)MC、PN．則折線．

當(dāng)且僅當(dāng)M、N、P、C四點(diǎn)共線時(shí)，的周長(zhǎng)取最小值．此時(shí)，有，即點(diǎn)P為的中心（）．

下面說明，這恰好是面積取最大值的條件．

在中，由余弦定理和基本不等式有，

故．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．

在中，．

由面積公式有

．

兩處放大的地方同時(shí)取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)

由式②有．

所以，．

從而，，代入式①得．

這表明，PA、PB在的中線上，且相交于距頂點(diǎn)處，點(diǎn)P為中心．

所以，當(dāng)點(diǎn)P為的中心時(shí)，的周長(zhǎng)最短且面積最大，最大值為．