Question

【題目】設(shè)函數(shù) ，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個(gè)命題（ ）
①x∈R，f（f（x））=1；
②x0 ， y0∈R，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0）；
③函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；
④函數(shù)f（x）是周期函數(shù)．
其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】A
【解析】解：由 ，
可得f（x）=0或1，則x∈R，f（f（x））=1，故①正確；
當(dāng) 時(shí)，f（x0+y0）=f（x0）+f（y0），故②正確；
∵x為有理數(shù)，則﹣x為有理數(shù)，x為無理數(shù)，則﹣x為無理數(shù)，∴函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，故③正確；
任何一個(gè)非0的有理數(shù)都是函數(shù)的周期，∴函數(shù)f（x）是周期函數(shù)，故④正確．
∴真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)．
故選：A．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系即可以解答此題．