已知二次函數(shù)f(x)的二次項系數(shù)為a,且不等式f(x)>2x的解集為(-1,3).
(Ⅰ)若方程f(x)=-7a有兩個相等的實(shí)數(shù)根,求f(x)的解析式;
(Ⅱ)若函數(shù)g(x)=xf(x)在區(qū)間(-∞,
a3
)
內(nèi)單調(diào)遞減,求a的取值范圍.
分析:(1)依據(jù)不等式f(x)>2x的解集為(-1,3),可設(shè)函數(shù)f(x)-2x的解析式為(x)-2x=a(x+1)(x-3),得出f(x)的解析式.再利用f(x)=-7a有兩個相等的實(shí)數(shù)根,通過△求出a的值最后代入f(x)即可.
(2)根據(jù)若函數(shù)g(x)區(qū)間(-∞,
a
3
)
內(nèi)單調(diào)遞減,通過導(dǎo)函數(shù)g′(x)<0,求a的取值范圍.
解答:解:(1)∵f(x)-2x>0的解集為(-1,3),
∴可設(shè)f(x)-2x=a(x+1)(x-3),且a<0,
因而f(x)=a(x+1)(x-3)+2x=ax2+2(1-a)x-3a①
由f(x)+7a=0得ax2+2(1-a)x+4a=0②
∵方程②有兩個相等的根,
∴△=4(1-a)2-16a2=0,
即3a2+2a-1=0解得a=-1或a=
1
3

由于a<0,a=
1
3
(舍去),將a=-1代入①得f(x)的解析式f(x)=-x2+4x+3.
(2)g(x)=xf(x)=ax3+2(1-a)x2-3ax,
∵g(x)在區(qū)間(-∞,
a
3
)
內(nèi)單調(diào)遞減,
∴g′(x)=3ax2+4(1-a)x-3a在(-∞,
a
3
)
上的函數(shù)值非正,
由于a<0,對稱軸x=
2(a-1)
3a
>0
,
故g(x)≤g/(
a
3
)=
a3
3
+
4
3
a(1-a)-3a≤0

注意到a<0,∴a2+4(1-a)-9≥0,
得a≤-1或a≥5(舍去)
故所求a的取值范圍是(-∞,-1].
點(diǎn)評:本題主要考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式.步驟一般是首先確定所求問題含待定系數(shù)的解析式.其次根據(jù)恒等條件,列出一組含待定系數(shù)的方程.最后解方程或消去待定系數(shù),從而使問題得到解決.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2+2(m-2)x+m-m2
(I)若函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn),且滿足f(2)=0,求實(shí)數(shù)m的值.
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間[2,+∞)上為增函數(shù),求m的取值范圍.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的圖象過點(diǎn)(0,1),且與x軸有唯一的交點(diǎn)(-1,0).
(Ⅰ)求f(x)的表達(dá)式;
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)F(x)=f(x)-kx,x∈[-2,2],記此函數(shù)的最小值為g(k),求g(k)的解析式.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知二次函數(shù)f(x)=x2-16x+q+3.
(1)若函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上存在零點(diǎn),求實(shí)數(shù)q的取值范圍;
(2)若記區(qū)間[a,b]的長度為b-a.問:是否存在常數(shù)t(t≥0),當(dāng)x∈[t,10]時,f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D,且D的長度為12-t?請對你所得的結(jié)論給出證明.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•廣州一模)已知二次函數(shù)f(x)=x2+ax+m+1,關(guān)于x的不等式f(x)<(2m-1)x+1-m2的解集為(m,m+1),其中m為非零常數(shù).設(shè)g(x)=
f(x)x-1

(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值時,函數(shù)φ(x)=g(x)-kln(x-1)存在極值點(diǎn),并求出極值點(diǎn);
(3)若m=1,且x>0,求證:[g(x+1)]n-g(xn+1)≥2n-2(n∈N*).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知二次函數(shù)f(x)的圖象與x軸的兩交點(diǎn)為(2,0),(5,0),且f(0)=10,求f(x)的解析式.
(2)已知二次函數(shù)f(x)的圖象的頂點(diǎn)是(-1,2),且經(jīng)過原點(diǎn),求f(x)的解析式.

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案