Question

（2013•揭陽二模）在圖（1）所示的長方形ABCD中，AD=2AB=2，E、F分別為AD、BC的中點，M、N兩點分別在AF和CE上運動，且AM=EN=a(0＜a＜

2

)．把長方形ABCD沿EF折成大小為θ的二面角A-EF-C，如圖（2）所示，其中θ∈(0，

π

2

]
（1）當(dāng)θ=45°時，求三棱柱BCF-ADE的體積；
（2）求證：不論θ怎么變化，直線MN總與平面BCF平行；
（3）當(dāng)θ=90⁰且a=

2

2

．時，求異面直線MN與AC所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用已知條件即可得到EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．再利用三棱柱的體積計算公式即可得出；
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連接M₁N₁，可證明四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
證法二：點M作MG⊥EF交EF于G，可證平面MNG∥平面BCF，利用面面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（3）證法一：取CF的中點為Q，連接MQ、NQ，則MQ∥AC，得∠NMQ或其補角為異面直線MN與AC所成的角，利用余弦定理求出即可；
證法二：建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩條異面直線的方向向量的夾角即可得出．

解答：解：（1）依題意得EF⊥DE，EF⊥AE，∴EF⊥平面ADE，∠DEA=θ．
由θ=45°得，S△ADE=

1

2

DE•EAsin45°=

2

4

，
∴VBCF-ADE=S△ADE•EF=

2

4

．
（2）證法一：過點M作MM₁⊥BF交BF于M₁，
過點N作NN₁⊥CF交BF于N₁，連接M₁N₁，
∵MM₁∥AB，NN₁∥EF∴MM₁∥NN₁
又∵

MM1

AB

=

FM

FA

=

CN

CE

=

NN1

EF

，∴MM₁=NN₁
∴四邊形MNN₁M₁為平行四邊形，
∴MN∥N₁M₁，又MN?面BCF，N₁M₁?面BCF，∴MN∥面BCF．
證法二：過點M作MG⊥EF交EF于G，連接NG，則

CN

NE

=

FM

MA

=

FG

GE

，∴NG∥CF．
又NG?面BCF，CF?面BCF，∴NG∥面BCF，
同理可證得MG∥面BCF，又MG∩NG=G，∴平面MNG∥平面BCF，
∵MN?平面MNG，∴MN∥面BCF．
（3）證法一：取CF的中點為Q，連接MQ、NQ，則MQ∥AC，
∴∠NMQ或其補角為異面直線MN與AC所成的角，
∵θ=90⁰且a=

2

2

．∴NQ=

1

2

，MQ=

( 1 2 )2+( 2 2 )2

=

3

2

∴MN=

2

2

，----
∴cos∠NMQ=

QM2+MN2-NQ2

2MN•QM

=

6

3

．
即MN與AC所成角的余弦值為

6

3

．
證法二：∵θ=90⁰且a=

2

2

．
分別以FE、FB、FC所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．A(1，1，0)，C(0，0，1)，M(

1

2

，

1

2

，0)，N(

1

2

，0，

1

2

)，得

AC

=(-1，-1，1)，

MN

=(0，-

1

2

，

1

2

)，
∴cos＜

AC

，

MN

＞=

1

3 • 2 2

=

6

3

，
所以與AC所成角的余弦值為

6

3

．

點評：熟練掌握線面垂直的判定定理、三棱柱的體積計算公式、平行四邊形的判定和性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、面面平行的判定定理和性質(zhì)定理、異面直線所成的角的定義、余弦定理、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩條異面直線的方向向量的夾角求得異面直線的夾角．