Question

已知復(fù)數(shù)z=3+ai，且|z-2|＜2，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：解法一：利用模的定義，從兩個已知條件中消去z，再由得數(shù)的模的公式轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化a的不等式，解出a的取值范圍；
解法二：利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由條件|z-2|＜2可知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點z在以（2，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)（不包括邊界），由z=3+ai可知z對應(yīng)的點Z在直線x=3上，由得數(shù)的幾何意義得出復(fù)數(shù)z=3+ai對應(yīng)的點的軌跡，由圖形得出參數(shù)a的取值范圍

解答：解：解法一：
利用模的定義，從兩個已知條件中消去z．
∵z=3+ai（a∈R），由|z-2|＜2，得|3+ai-2|＜2，即|1+ai|＜2，
解得-

3

＜a＜

3

．
解法二：
利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由條件|z-2|＜2可知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點z在以（2，0）為圓心，2為半徑的圓內(nèi)（不包括邊界），由z=3+ai可知z對應(yīng)的點Z在直線x=3上，所以線段AB（除去端點）為動點Z的集合．由圖可知-

3

＜a＜

3

．

點評：本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，解題的關(guān)鍵是理解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及其幾何意義，將問題轉(zhuǎn)化不等式求解或?qū)�問題轉(zhuǎn)化為圖象利用幾何關(guān)系求解，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，數(shù)形結(jié)合的思想，是復(fù)數(shù)中較為典型的題，