【題目】已知的兩個頂點的坐標(biāo)分別為，，且所在直線的斜率之積等于，記頂點的軌跡為.

（Ⅰ）求頂點的軌跡的方程；

（Ⅱ）若直線與曲線交于兩點，點在曲線上，且為的重心（為坐標(biāo)原點），求證：的面積為定值，并求出該定值.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析，定值為.

【解析】

（Ⅰ）設(shè)，根據(jù)題意列方程即可求解.

（Ⅱ）設(shè)，，，由為的重心，可得，從而，，將直線與橢圓方程聯(lián)立整理利用韋達(dá)定理求出點坐標(biāo)，代入橢圓方程可得，再利用弦長公式以及三角形的面積公式即可求解.

（Ⅰ）設(shè)，

因為點的坐標(biāo)為，所以直線的斜率為

同理，直線的斜率為

由題設(shè)條件可得，.

化簡整理得，頂點的軌跡的方程為：.

（Ⅱ）設(shè)，，，

因為為的重心，所以，

所以，，

由得，

，，

，，∴，

又點在橢圓上，所以，

∴，

因為為的重心，所以是的倍，

，

原點到直線的距離為，

.

所以，

所以，的面積為定值，該定值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，分別為雙曲線的左、右焦點，點P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點，若線段的中點Q在C的漸近線上，則C的兩條漸近線方程為__________．

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（1）為曲線上的動點，點在線段上，且滿足，求點的軌跡的直角坐標(biāo)方程；

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，），曲線的極坐標(biāo)方程為：．且兩曲線與交于兩點．

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)，若成等比數(shù)列，求的值．

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【題目】已知圓，點，是圓上一動點，點在線段上，點在半徑上，且滿足.

（1）當(dāng)在圓上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）設(shè)過點的直線與軌跡交于點（不在軸上），垂直于的直線交于點，與軸交于點，若，求點橫坐標(biāo)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在橢圓上任取一點（不為長軸端點），連結(jié)、，并延長與橢圓分別交于點、兩點，已知的周長為8，面積的最大值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)坐標(biāo)原點為，當(dāng)不是橢圓的頂點時，直線和直線的斜率之積是否為定值？若是定值，請求出這個定值；若不是定值，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在菱形中，沿對角線將△折起，使之間的距離為若分別為線段上的動點

（1）求線段長度的最小值；

（2）當(dāng)線段長度最小時，求直線與平面所成角的正弦值

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【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）若直線與曲線至多只有一個公共點，求實數(shù)的取值范圍；

（2）若直線與曲線相交于，兩點，且，的中點為，求點的軌跡方程．

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)），在以坐標(biāo)原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，點的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為．

（1）求直線的直角坐標(biāo)方程與曲線的普通方程；

（2）若是曲線上的動點，為線段的中點，求點到直線的距離的最大值．

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