如圖,橢圓E:=1(a>b>0)的左焦點為F1,右焦點為F2,離心率e=.過F1的直線交橢圓于A、B兩點,且△ABF2的周長為8.

(1)求橢圓E的方程;
(2)設動直線l:y=kx+m與橢圓E有且只有一個公共點P,且與直線x=4相交于點Q.試探究:在坐標平面內(nèi)是否存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M?若存在,求出點M的坐標;若不存在,說明理由.
(1)=1(2)存在定點M(1,0),
學生錯解:解:(1)略
(2)由消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.
因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,
即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡得4k2-m2+3=0.(*)
此時x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.
得Q(4,4k+m).
假設平面內(nèi)存在定點M滿足條件,由圖形對稱性知,點M必在x軸上.
設M(x1,0),則·=0對滿足(*)式的m,k恒成立.
因為,=(4-x1,4k+m),
·=0,得--4x1+3=0,
整理,得(4x1-4)-4x1+3=0.(**),方程無解.
故不存在定點M,使得以PQ為直徑的圓恒過點M.
審題引導:(1)建立方程組求解參數(shù)a,b,c;(2)恒成立問題的求解;(3)探索性問題的一般解題思路.
規(guī)范解答:解:(1)因為AB+AF2+BF2=8,
即AF1+F1B+AF2+BF2=8,(1分)
又AF1+AF2=BF1+BF2=2a,(2分)
所以4a=8,a=2.又因為e=,即,所以c=1,(3分)
所以b=.故橢圓E的方程是=1.(4分)
(2)由消去y得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0.(5分)
因為動直線l與橢圓E有且只有一個公共點P(x0,y0),所以m≠0且Δ=0,(6分)
即64k2m2-4(4k2+3)(4m2-12)=0,化簡得4k2-m2+3=0.(*)(7分)
此時x0=-=-,y0=kx0+m=,所以P.(8分)
得Q(4,4k+m).(9分)
假設平面內(nèi)存在定點M滿足條件,由圖形對稱性知,點M必在x軸上.(10分)
設M(x1,0),則·=0對滿足(*)式的m,k恒成立.
因為=(4-x1,4k+m),
·=0,得--4x1+3=0,
整理,得(4x1-4)-4x1+3=0.(**)(12分)
由于(**)式對滿足(*)式的m,k恒成立,所以解得x1=1.(13分)
故存在定點M(1,0),使得以PQ為直徑的圓恒過點M.(14分)
錯因分析:本題易錯之處是忽視定義的應用;在處理第(2)問時,不清楚圓的對稱性,從而不能判斷出點M必在x軸上.同時不會利用恒成立求解.
練習冊系列答案
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