Question

令f_n（x）=-xⁿ-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（

1

3

，1）則下列命題正確的有

 

．
①f_n（

1

3

）＜0；
②f_n（x）在區(qū)間（

1

3

，1）一定存在唯一零點(diǎn)；
③若x_n是f_n（x）在（

1

3

，1）上的零點(diǎn)，則數(shù)列{x_n}（n≥2，n∈N）單調(diào)遞減；
④若x_n是f_n（x）在（

1

3

，1）上的零點(diǎn)，則數(shù)列{x_n}（n≥2，n∈N）單調(diào)遞增；
⑤以上③④兩種情況都有可能．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)的解析式求得f_n（

1

3

）=

1

3

-(

1

3

)n＞0，可得①不正確．
②確定函數(shù)的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在定理，進(jìn)行驗(yàn)證，可得②正確．
由f_n（x_n）=0，可得 xnn+2x_n-1=0，同取導(dǎo)數(shù)可得 xnn-1=

-2

n

，故有 xnn-1 是增函數(shù)，可得③不正確且④正確，從而得出結(jié)論．

解答：解：由f_n（x）=-xⁿ-2x+1（n≥2，n∈N），x∈（

1

3

，1），可得f_n（

1

3

）=-(

1

3

)n-

2

3

+1=

1

3

-(

1

3

)n＞0，故①不正確．
根據(jù)f_n（

1

3

）=-(

1

3

)n-

2

3

+1≥-

1

9

-

2

3

+1＞0，f_n（1）=-1-2+1=-2＜0，可得f_n（

1

3

）f_n（1）＜0，
故f_n（x）在區(qū)間（

1

3

，1）一定存在唯一零點(diǎn)，故②正確．
③若x_n是f_n（x）在（

1

3

，1）上的零點(diǎn)，則f_n（x_n）=0，即-xnn-2x_n+1=0，即 xnn+2x_n-1=0，
同取導(dǎo)數(shù)可得 nxnn-1+2=0，即 xnn-1=

-2

n

，∴xnn-1 是增函數(shù)，故③不正確且④正確，
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是零點(diǎn)存在定理，導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．